Доказательство в объяснении.
Объяснение:
Определение: внешний угол треугольника (многоугольника) - угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны.
Таким образом, при каждой вершине прямоугольника образуется по два внешних угла. В прямоугольнике внутренние углы прямые, значит и внешние углы, смежные с внутренними, также прямые. Биссектриса прямого угла делит его на два угла по 45°. Следовательно, пересекаясь, биссектрисы образуют прямоугольные равнобедренные треугольники при общей гипотенузе - стороне прямоугольника - треугольники DFA, AFB, BGC и CHD.
Отрезки АВ = CD, BC = AD как противоположные стороны прямоугольника, следовательно отрезки (катеты равнобедренных треугольников) равны: EA=ED=GB=GC, FA=FB=HC=HD => EF=FG=GH=HE (как суммы равных отрезков). Значит EFGH - параллелограмм (по признаку), а так как все стороны равны, то ромб. Кроме того, ∠E = ∠F = ∠G = ∠H = 90° =>
EFGH - квадрат, что и требовалось доказать.
а) В правильном треугольнике СК - высота, биссектриса и медиана.
КН/НС=1/2 (свойство).
НN║KM, CN/NM=CH/HK=1/2. (теорема Фалеса)
SM=MC => MN=(1/3)*SM.
НР/PS=NM/MS=1/3 (теорема Фалеса).
Что и требовалось доказать.
б) Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Опустим перпендикуляр МТ на плоскость АВС. Основание этого перпендикуляра окажется на прямой СК, так как плоскость КSC перпендикулярна плоскости АВС.
В нашем случае искомый угол - это угол МКС, так как КТ - проекция прямой МК на плоскость АВС.
Высота СК правильного треугольника АВС (формула):
СК=(√3/2)*а = 3√3 (при стороне АВ=6).
КН=(1/3)*СК = √3.
SK=4 (так как треугольник ASK - пифагоров: АК=3, SA=5).
SH=√(SK²-KH²) = √(16-3) =√13.
PH=(1/4)*SH =√13/4 (доказано в пункте а).
tgα=PH/KH=√13/(4√3) = √39/12.
α= arctg(√39/12) ≈ 27,5°