Question

Вписанная окружность с центром О треугольника АВС касаясь сторон АВ и АС в точках М и N соответственно. Прямая МN пересекает биссектрису угла в точке Р. Докажите, что точки N, О, С и Р лежат на одном круге

Answer 1

Для доказательства того, что точки N, О, С и Р лежат на одном круге, мы можем использовать свойство угла между касательной и хордой, а также свойство центрального угла.

Давайте рассмотрим более подробно каждую часть данного утверждения.

1. Сначала докажем, что точки N, О, С лежат на одной прямой.
- Так как окружность с центром О касается стороны АС в точке N, мы можем применить свойство касательной к окружности. Согласно этому свойству, угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен углу, образованному этой хордой и окружностью.
- В нашем случае, мы можем заметить, что угол NОС является прямым углом, так как линия АС - биссектриса угла ВАС. Таким образом, мы доказали, что точки N, О, С лежат на одной прямой.

2. Затем, докажем, что точки N, О, Р лежат на одной прямой.
- Чтобы доказать, что точки N, О, Р лежат на одной прямой, мы можем использовать свойство центрального угла вписанной окружности. Согласно этому свойству, угол, образованный дугой окружности, равен углу центрального угла, соответствующего этой дуге.
- Обратите внимание, что хорда МН пересекает биссектрису угла В в точке Р. Таким образом, угол УРН (где У - центр окружности) является центральным углом, соответствующим дуге NS окружности.
- Мы также можем заметить, что угол NОС является прямым углом (это было доказано в первой части). Тогда угол УСО также является прямым углом, так как он является вертикально противоположным углом к углу NОС.
- Таким образом, мы доказали, что точки N, О, Р лежат на одной прямой.

3. И, наконец, чтобы доказать, что точки N, О, С и Р лежат на одном круге, мы можем использовать теорему о перпендикулярности хорды и радиуса, проведенного в точку пересечения хорды и биссектрисы угла вписанной окружности. Согласно этой теореме, хорда, проходящая через точку пересечения хорды и биссектрисы, является диаметром окружности.
- В нашем случае, хорда МН проходит через точку пересечения хорды и биссектрисы угла В. Таким образом, она является диаметром окружности, проходящей через точки N, О, С и Р.
- Следовательно, мы доказали, что точки N, О, С и Р лежат на одном круге.

Таким образом, мы доказали, что точки N, О, С и Р лежат на одном круге, используя свойства касательной к окружности, центрального угла вписанной окружности и перпендикулярности хорды и радиуса.