Question

Даны последовательные вершины выпуклого четырѐхугольника А(-6,-2), В(6;7), С(9;3) и Д(1;-3) . определите точку пересечения диагоналей.

Answer 1

1. Сначала найдите уравнения диагоналей.

Для нахождения уравнения первой диагонали, проведем прямую через вершины А и С. Уравнение можно найти, используя формулу наклона и точку на прямой:

a) Наклон (m) диагонали AC:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Подставим координаты вершин А и С:
m = (3 - (-2)) / (9 - (-6)) = 5/15 = 1/3

b) Уравнение AC:
Используем формулу:
y - y1 = m(x - x1)

Подставим координаты одной из вершин (например, С):
y - 3 = (1/3)(x - 9)

Теперь упростим уравнение:
3y - 9 = x - 9
3y = x

Таким образом, уравнение первой диагонали AC: 3y = x.

2. Теперь найдите уравнение второй диагонали.

Для нахождения уравнения второй диагонали, проведем прямую через вершины B и D. Аналогично предыдущему шагу, найдем наклон и уравнение.

a) Наклон (m) диагонали BD:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Подставим координаты вершин B и D:
m = (-3 - 7) / (1 - 6) = -10 / -5 = 2

b) Уравнение BD:
Используем формулу:
y - y1 = m(x - x1)

Подставим координаты одной из вершин (например, B):
y - 7 = 2(x - 6)

Теперь упростим уравнение:
y - 7 = 2x - 12
y = 2x - 5

Таким образом, уравнение второй диагонали BD: y = 2x - 5.

3. Найдите точку пересечения диагоналей.

Чтобы найти точку пересечения диагоналей, решим систему уравнений, состоящую из уравнений диагоналей:

Система уравнений:
1) 3y = x
2) y = 2x - 5

Решение системы можно найти методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений. В данном случае, воспользуемся методом сложения/вычитания.

Умножим уравнение 2 на 3, чтобы сделать коэффициенты при y одинаковыми:
3y = 6x - 15

Теперь составим систему с новыми уравнениями:

1) 3y = x
2) 3y = 6x - 15

Теперь вычтем первое уравнение из второго:
0 = 5x - 15

Теперь решим получившееся уравнение:
5x = 15
x = 3

Подставим значение x в первое уравнение:
3y = 3
y = 1

Таким образом, точка пересечения диагоналей имеет координаты (3, 1).