Question

In ABC opposite, DE || BC and point O is the incenter of the triangle. If BD =6 and EC = 4, find DE​

Answer 1

Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о свойствах треугольника и его внутреннего центра. Начнем с определения внутреннего центра треугольника.

Внутренний центр треугольника - это точка, которая является центром вписанной окружности треугольника. Он также обладает другими интересными свойствами. Одно из таких свойств состоит в том, чтобы делить стороны треугольника пропорционально длинам смежных отрезков, проведенных из этой точки до сторон треугольника.

Итак, в нашем случае у нас есть треугольник ABC, в котором сторона DE параллельная стороне BC, и точка O является внутренним центром треугольника. Нам также известно, что BD = 6 и EC = 4.

Согласно свойству внутреннего центра, длины смежных отрезков DC и EB будут пропорциональны длинам смежных отрезков ДО и ОЕ соответственно. Для нахождения длины DE нам нужно найти пропорцию между смежными отрезками и использовать известные значения BD и EC.

Пусть DC = x, тогда EB = x.

Теперь, применим свойства внутреннего центра к треугольнику ABC:

AD/DB = AO/OC
EA/EC = AO/OD

Подставляя известные значения, получим:

AD/6 = AO/OC
EA/4 = AO/OD

Теперь разрешим эти уравнения относительно AD и EA:

AD = (AO/OC) * 6
EA = (AO/OD) * 4

Теперь, зная, что внутренний центр треугольника будет делить стороны треугольника в пропорции, получим пропорцию относительно DC и EB:

DC/EB = AD/EA

Подставим найденные значения AD и EA:

x/x = [(AO/OC) * 6] / [(AO/OD) * 4]

Теперь упростим это уравнение, сократив AO и x:

1 = (6 * OD) / (4 * OC)

Далее, упростим это уравнение:

OD / OC = 2/3

Зная это отношение, можем обозначить OD как 2x и OC как 3x.

Теперь имея значения OD и OC, можем найти значения AD и EA:

AD = (AO/OC) * 6 = (2/3) * 6 = 4
EA = (AO/OD) * 4 = (3/2) * 4 = 6

И, наконец, найдем значение DE, используя сумму AD и EA:

DE = AD + EA = 4 + 6 = 10

Таким образом, мы нашли, что DE = 10.