Question

В треугольнике ABC : ∠C= 90°, tg ∠A = 1,5. Найдите значение ctg ∠A​

Answer 1

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о тригонометрии и основных соотношениях в прямоугольном треугольнике.

У нас дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90° и тангенс угла A равен 1.5. Нам нужно найти значение котангенса угла A.

Для начала, давайте вспомним соотношения между тангенсом и котангенсом:

tg A = sin A / cos A
ctg A = 1 / tg A = cos A / sin A

Теперь нам нужно найти значения синуса и косинуса угла A.

Мы знаем, что tg A = 1,5. Тангенс A равен отношению противолежащего катета (стороны BC) к прилежащему катету (стороне AC). Поэтому мы знаем, что BC / AC = 1,5.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике. По теореме Пифагора:

AC² + BC² = AB²

У нас угол C равен 90°, поэтому АВ - это гипотенуза прямоугольного треугольника. Мы можем заменить AC и BC в уравнении на значения сторон треугольника:

AC² + BC² = AB²
AC² + (1.5AC)² = AB²
AC² + 2.25AC² = AB²
3.25AC² = AB²

Теперь мы знаем, что 3.25AC² равно квадрату AB. Давайте обозначим катет AC как х, тогда AB = √(3.25x²).

Мы также можем использовать соотношение синуса и косинуса:

sin A = BC / AB = (1.5x) / √(3.25x²)
cos A = AC / AB = x / √(3.25x²)

Мы получили значения синуса и косинуса угла A в зависимости от значения катета AC.

Теперь найдем котангенс угла A:

ctg A = cos A / sin A = (x / √(3.25x²)) / ((1.5x) / √(3.25x²))

Здесь у нас в числителе и знаменателе можно сократить √(3.25x²):

ctg A = (x / √(3.25x²)) * (√(3.25x²) / (1.5x))
= 1 / 1.5
= 2/3

Таким образом, значение котангенса угла A равно 2/3.