В Москве коммунальными службами ежегодно ремонтируется покрытия газонов. В одном дворе из-за протоптанных через газоны тропинок пришлось заменить 500 м^2 покрытия. Какова была общая длина тропинок? Ширину тропинки считать за 0,5 м. Заранее
Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен 13. Диаметр окружности, следовательно, равен 26, и является диагональю данного по условию прямоугольника. Обозначим вершины прямоугольника АВСД. Тогда ВД - его диагональ и делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника -АВД и ВСД. Рассмотрим треугольник ВСД. Гипотенуза равна 13, и вспоминается одна из троек Пифагора с отношением его сторон сторон прямоугольного треугольника 5:12:13. Отношение сторон этого треугольника может быть таким же: ВС:СД:ВД=5:12:13 Тогда его гипотенуза 26, катеты 10 и 24, И площадь прямоугольника АВСД= 10*24=240. Всё сходится. Но не всегда вспоминаются эти тройки, да и отношение сторон может быть иным. Решение. Площадь треугольника ВСД равна половине площади прямоугольника АВСД и равна 120. Проведем в этом треугольнике высоту СН. Площадь ВСД=СН*26:2 120*2=СН*26 СН=240/26=120/13 ВС - сторона прямоугольника = катет треугольника ВСН. Найти его можно из этого треугольника по т.Пифагора. Для того, чтобы найти ВН, воспользуемся правилом: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой; СН²=ВН*НД (120/13)²=ВН*(26-ВН) Обозначим ВН=х, тогда НД=26-х Подставим в уравнение высоты эти значения: 1400/169=26х-х² Домножим обе части уравнения на 169, чтобы избавиться от дроби: 1400=4394х-169х² 169х²-4394х+14400=0 Решим квадратное уравнение: Дискриминант равен: D=b²-4ac=-43942-4·169·14400=9572836 х=(-b±√D):2а х1=-(-4394)+√9572836):2*169= (4394+3094):338=7288/338=288/13 Второй корень находить нет необходимости. Найдем катет ВС. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой (ВД) и отрезком (ВН) гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. ВС²=ВН²+СН² ВС²=(288/13)²+(120/13)² ВС²=576 ВС=24 Из площади прямоугольника найти вторую его сторону не составит труда. АВ=240:24=10 Периметр прямоугольника Р=2(АВ+ВС)=2*(24+10)=68
Чтобы решить вопрос, мы можем использовать основное свойство параллельных прямых: если две прямые параллельны, то углы, образованные этими прямыми и пересекающими их прямыми, равны.
В данном случае, мы можем использовать это свойство для определения значения угла ANV (угол ВАН).
У нас есть такие данные:
- VN || AC (прямые VN и AC параллельны)
- AC = 12 м
- VN = 4 м
- AV = 6,4 м
Для начала, нам необходимо определить значение угла ANV. Мы можем использовать теорему о сумме углов треугольника, чтобы найти его.
Углы треугольника ANV:
- Угол ANV (угол ВАН): неизвестный угол
- Угол ANV (угол АВН): неизвестный угол
- Угол NAV (угол НАВ): угол А, так как угол А противолежит стороне NV
Сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому мы можем записать следующее уравнение:
угол ANV + угол AVN + угол NAV = 180
Известные значения:
угол NAV = угол А = 180 - угол ANV - угол AVN
Теперь нам нужно определить угол NAV. Мы можем использовать факт, что углы, образованные параллельными прямыми и пересекающими их прямыми, равны. Угол NAV противолежит стороне AC и параллелен углу VAC.
Угол VAC (угол, который образуют прямые VN и AC): неизвестный угол
Углы VAC и NAV равны, поэтому мы можем записать следующее уравнение:
угол NAV = угол VAC = угол А
Теперь у нас есть два уравнения, содержащие угол А:
180 - угол ANV - угол AVN = угол А (уравнение 1)
угол А = угол VAC (уравнение 2)
Мы можем приравнять правые части уравнений:
180 - угол ANV - угол AVN = угол VAC
Теперь мы можем записать уравнение, используя известные значения:
180 - угол ANV - угол AVN = угол A
Подставим значения, о которых мы знаем:
180 - угол ANV - угол AVN = 180 - угол VAC
Обратимся к изначально данной информации: VN || AC. Таким образом, угол VAC и угол ANV - смежные углы. У смежных углов сумма равна 180 градусов, поэтому угол VAC + угол ANV = 180.
Подставим это в наше уравнение:
180 - угол ANV - угол AVN = 180 - (угол VAC + угол ANV)
Раскроем скобки:
180 - угол ANV - угол AVN = 180 - угол VAC - угол ANV
Теперь у нас есть уравнение с двумя неизвестными углами:
180 - угол ANV - угол AVN = 180 - угол VAC - угол ANV
Уберем одинаковые слагаемые с обеих сторон уравнения:
- угол AVN = - угол VAC
Поменяем местами две стороны уравнения:
- угол VAC = - угол AVN
Обратимся к изначальному вопросу: мы знаем, что угол VAC = угол А. Подставим это в уравнение:
- угол А = - угол AVN
Избавимся от минуса, умножив оба части уравнения на -1:
угол А = угол AVN
Таким образом, мы получаем, что угол А равен углу AVN.
Теперь, когда мы нашли значение угла ANV, мы можем определить длину стороны AV, используя теорему синусов:
\(\frac{{VN}}{{\sin ANV}} = \frac{{AV}}{{\sin NAV}}\)
Диаметр окружности, следовательно, равен 26, и является диагональю данного по условию прямоугольника.
Обозначим вершины прямоугольника АВСД.
Тогда ВД - его диагональ и делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника -АВД и ВСД.
Рассмотрим треугольник ВСД.
Гипотенуза равна 13, и вспоминается одна из троек Пифагора с отношением его сторон сторон прямоугольного треугольника 5:12:13. Отношение сторон этого треугольника может быть таким же:
ВС:СД:ВД=5:12:13
Тогда его гипотенуза 26, катеты 10 и 24,
И площадь прямоугольника АВСД= 10*24=240.
Всё сходится.
Но не всегда вспоминаются эти тройки, да и отношение сторон может быть иным.
Решение.
Площадь треугольника ВСД равна половине площади прямоугольника АВСД и равна 120.
Проведем в этом треугольнике высоту СН.
Площадь ВСД=СН*26:2
120*2=СН*26
СН=240/26=120/13
ВС - сторона прямоугольника = катет треугольника ВСН.
Найти его можно из этого треугольника по т.Пифагора.
Для того, чтобы найти ВН, воспользуемся правилом:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины
прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;
СН²=ВН*НД
(120/13)²=ВН*(26-ВН)
Обозначим ВН=х, тогда НД=26-х
Подставим в уравнение высоты эти значения:
1400/169=26х-х²
Домножим обе части уравнения на 169, чтобы избавиться от дроби:
1400=4394х-169х²
169х²-4394х+14400=0
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант равен:
D=b²-4ac=-43942-4·169·14400=9572836
х=(-b±√D):2а
х1=-(-4394)+√9572836):2*169= (4394+3094):338=7288/338=288/13
Второй корень находить нет необходимости.
Найдем катет ВС.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой (ВД) и отрезком (ВН) гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
ВС²=ВН²+СН²
ВС²=(288/13)²+(120/13)²
ВС²=576
ВС=24
Из площади прямоугольника найти вторую его сторону не составит труда.
АВ=240:24=10
Периметр прямоугольника
Р=2(АВ+ВС)=2*(24+10)=68