3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите градусные меры углов ВDА и АBC, если внешний угол ВСК равен 140градусов
Деление отрезка пополам : Пусть [AB] – данный отрезок, точка O – его середина, прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку AB. Выберем произвольную точку C на прямой a, отличную от точки O. В треугольнике ACB CO – одновременно медиана и высота. Следовательно, треугольник ACB равнобедренный, иAC = BC. Отсюда возникает следующий построения точки O – середины отрезка AB.
Построение. Из точек A и B циркулем описывается окружность радиусом AB. Пусть C и C1 – точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AB. С линейки соединить точки C и C1. Отрезок CC1 пересекает отрезок AB в точке O. Эта точка – середина отрезка AB.Нужно поделить отрезок AB пополам и середину отрезка обозначить точкой O.
Для начала можно для себя отобразить эти точки в ортонормированной системе координат и посмотреть, как будет выглядеть этот четырехугольник. Его стороны - векторы AB, BC, CD и DA. (векторы будем записывать курсивом) Найдем координаты этих векторов. Напомню, как находят координаты вектора: Если у нас есть точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то координаты вектора находят следующим образом: AB = (x₂ - x₁; y₂ - y₁). (1). В нашем случае: A(-3; -3); B(-4; 4), значит, согласно формуле (1), координаты вектора AB = (-4 - (-3); 4 - (-3)) = (-1; 7). Для остальных векторов я вычисления так подробно записывать не буду, запишу лишь результат. Если вы захотите проверить, верны ли мои вычисления, вы можете проверить это с формулы (1), как видите, это несложно. BC = (7; 1); CD = (1; -7); DA = (-7; -1).
Напомню признак коллинеарности двух векторов: Если AB = (x₁; y₁), CD = (x₂; y₂) и при этом выполняется равенство (x₁/x₂) = (y₁/y₂), то AB || CD (AB коллинеарен CD).
Исследуем на коллинеарность наши векторы AB = (-1; 7) и CD = (1; -7): (-1/1) = (7/-7); -1 = -1. Равенство выполняется, значит, AB || CD. Аналогично исследуем на коллинеарность векторы BC и DA.
Теперь найдем длины этих векторов. Если AB = (x, y), то его длину можно найти так: |AB| = sqrt(x² + y²).
Выходит, что в нашем четырехугольнике стороны попарно равны и параллельны, более того - все стороны равны. Отсюда следует, что наш четырехугольник ни что иное, как ромб.
Осталось лишь доказать, что углы, образуемые векторами, прямые. Можно сделать это по-разному, можно найти скалярное произведение векторов, образующих углы, можно воспользоваться методом для извращенцев - найти длину вектора AC и убедиться с теоремы Пифагора, что ΔABC - прямоугольный.
Рассмотрю оба 1) Напомню, как находят скалярное произведение: AB = (x₁; y₁), CD = (x₂; y₂); (AB, CD) = x₁x₂ + y₁y₂. (2) Найдем скалярное произведение наших векторов AB и BC с формулы (2): (AB, BC) = (-1)*7 + 7*1 = 0 - это говорит о том, что векторы перпендикулярны, т.к скалярное произведение можно записать так: (AB, BC) = |AB| * |BC| * cos(AB^BC). Если скалярное произведение равно нулю, то это значит, что либо одна из длин векторов равна нулю, либо косинус угла между векторами равен нулю. В нашем случае длины векторов не равны нулю ⇒ cos (AB^BC) = 0 ⇒ (AB^BC) = 90°.
Для остальных пар векторов делаете аналогично.
2) Найдем длину вектора AC - |AC| = √100. Проверим, является ли ΔABC прямоугольным с теоремы Пифагора: (√100)² = (√50)² + (√50)²; 100 = 50 + 50 ⇒ ΔABC - прямоугольный, прямой угол лежит против большей стороны. Для остальных углов можно это проверить аналогично.
В итоге получается, что наш четырехугольник не только прямоугольник, но и квадрат. Фух, всё.
Пусть [AB] – данный отрезок, точка O – его середина, прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку AB. Выберем произвольную точку C на прямой a, отличную от точки O. В треугольнике ACB CO – одновременно медиана и высота. Следовательно, треугольник ACB равнобедренный, иAC = BC. Отсюда возникает следующий построения точки O – середины отрезка AB.
Построение. Из точек A и B циркулем описывается окружность радиусом AB. Пусть C и C1 – точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AB. С линейки соединить точки C и C1. Отрезок CC1 пересекает отрезок AB в точке O. Эта точка – середина отрезка AB.Нужно поделить отрезок AB пополам и середину отрезка обозначить точкой O.