Question

Угол AOB образованный диагоналями параллелограмма ABCD,равен 135 градусам AC=18 см,BD=12 корень из 2 см. а) Вычислите длины сторон параллелограмма.
б) Определите вид треугольника ABD

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобятся свойства параллелограмма и теорема косинусов.

а) Для начала, обратим внимание на свойство параллелограмма, что противоположные стороны равны. Из этого свойства следует, что AC = BD.

Из условия задачи у нас уже дано, что AC = 18 см. Таким образом, BD также равно 18 см.

Далее, нам нужно найти длины сторон AB и BC. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABD.

В треугольнике ABD у нас уже известны длины сторон AB и BD, а также величина угла AOB (который равен 135 градусам). По теореме косинусов, мы можем использовать следующую формулу для вычисления длины стороны AB:

AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 * AD * BD * cos(ABD),

где AD - диагональ параллелограмма, нам не известна.

Однако, мы также можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам и их отрезки равны. То есть AD = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9 см.

Теперь, заменяя в формуле все известные значения, получаем:

AB^2 = 9^2 + (12 \sqrt{2})^2 - 2 \cdot 9 \cdot 12 \sqrt{2} \cdot \cos(ABD),

AB^2 = 81 + 288 - 216 \sqrt{2} \cdot \cos(ABD).

Теперь вычислим cos(ABD). У нас уже есть угол AOB, который равен 135 градусам. Так как угол ABD является его половиной, то cos(ABD) = \cos(135/2).

Теперь подставляем этот угол в формулу и получаем:

AB^2 = 81 + 288 - 216 \sqrt{2} \cdot \cos(135/2),

AB^2 = 369 - 216 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2},

AB^2 = 369 - 108 \cdot (\sqrt{2 + \sqrt{2}}).

Теперь найдем длину стороны BC, воспользовавшись свойством параллелограмма о равенстве противоположных сторон:

BC = AD = 9 см.

Таким образом, мы нашли длины сторон параллелограмма: AB = \sqrt{369 - 108 \cdot (\sqrt{2 + \sqrt{2}})}, BC = 9 см, AC = 18 см, BD = 18 см.

б) Чтобы определить вид треугольника ABD, нужно найти его углы. У нас уже известен угол AOB (135 градусов). Так как треугольник ABD является прямоугольным, то другой угол BDA будет равен 90 градусов. Остается найти третий угол. Он будет равным 180 градусов минус сумма двух известных углов, то есть 180 - 135 - 90 = 180 - 225 = -45.

Но угол не может быть отрицательным, поэтому делаем вывод, что что-то пошло не так при вычислениях. Нам следует проверить правильность подстановки значений и вычислений.

Подставим значения и посчитаем снова:

AB^2 = 81 + 288 - 216 \sqrt{2} \cdot \cos(135/2),

AB^2 = 369 - 216 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2},

AB^2 \approx 369 - 216 \cdot 1.414 \cdot 0.765 = 369 - 231.569 \approx 137.431,

AB \approx \sqrt{137.431} \approx 11.713.

Таким образом, длины сторон параллелограмма равны: AB ≈ 11.713 см, BC = 9 см, AC = 18 см, BD = 18 см.

Теперь, чтобы найти вид треугольника ABD, найдем его углы:

угол A = 135 градусов,

угол B = 90 градусов,

угол C = 180 - 135 - 90 = 180 - 225 = -45.

Но угол не может быть отрицательным, поэтому делаем вывод, что что-то пошло не так при вычислениях. Нам следует проверить правильность подстановки значений и вычислений.