В правильном тетраэдре ABCD точка M - середина BС. Найдите угол между прямыми AM и BD.
Прямая BD пересекает плоскость (ABC) в точке, не лежащей на прямой AM - прямые AM и BD скрещиваются.
Угол между скрещивающимися прямыми - угол между параллельными им пересекающимися прямыми.
Проведем MN||BD
∠AMN - искомый угол.
Правильный тетраэдр, все грани - правильные треугольники.
Пусть все ребра равны а
N - середина CD (т Фалеса)
MN=a/2 (средняя линия)
AM=AN =a√3/2 (медианы в равностороннем треугольнике)
△MAN - равнобедренный
cos(AMN) =MN/2AM =2a/4a√3 =√3/6
∠AMN =arccos(√3/6)
4√3
Объяснение:
используем теорему косинусов
MP²=MN²+NP²-2MN·NPcos∠N
MN=NP ⇒ MP²=2MN²-2MN²cos∠N
MP²=2MN²(1-cos∠N)
8²=2MN²(1-1/3)
4MN²/3=64
MN²=64·3/4
MN²=16·3 MN=4√3