∠А₁=40°
∠В₁=80°
∠С₁=60°
Объяснение:
Высоты тупоугольного треугольника находятся за пределами треугольника АВС, опускаясь на продолжение сторон. Высота ВВ₁ пересекает продолжение стороны СА – СВ₁, а высота СС₁ опускается на продолжение стороны ВА – ВС1 и точка их пересечения (ортоцентр) – это точка Н. Рассмотрим ∆АВВ₁ и ∆АСС₁. Они прямоугольные так как ∠АВ₁В=∠АС₁С=90°. ∠ВАВ₁ смежный с ∠ВАС, а сумма смежных углов составляет 180°, тогда ∠ВАВ₁=180– ∠А=180–110=70°. ∠ВАВ₁=∠САС₁=70°, как вертикальные. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому ∠АВВ₁=∠АСС₁=90–70=20°. Значит ∆АВВ₁~∆АСС₁, тогда стороны АВ₁ и АС₁, а также стороны АВ и АС пропорциональны. Рассмотрим ∆АВС и ∆АВ₁С₁. У них:
1) ∠ВАС=∠В₁АС₁=110°, как вертикальные,
2) АВ₁ и АВ пропорциональны,
3) АС и АС₁ пропорциональны,
следовательно ∆АВ₁С₁~∆АВС по двум сторонам и углу между ними. Тогда ∠АВС=∠АВ₁С₁=40° и ∠АСВ=∠АС₁В₁=30°.
Если рассматривать полученный пересечением высот ∆ВНС, то он остроугольный и продолжения сторон ∆АВС – ВС₁, СВ₁ и высота НА₁ являются в нём высотами, а высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов ортоцентрического треугольника А₁В₁С₁, поэтому углы в ∆А₁В₁С₁ составят:
∠В₁=∠АВ₁С₁×2=40×2=80°
∠С₁=∠АС₁В₁×2=30×2=60°
Так как сумма углов треугольника составляет 180°, тогда:
∠А₁=180–80–60=180–140=40°
ХОЧУ ДОБАВИТЬ:
Величина углов АВС и АСВ не соответствует указанной величине на рисунке – по рисунку можно понять что ∠АВС=30°, а ∠АСВ=40°, хотя ход решения и результаты будут те же
Высота, проведенная из тупого угла трапеции к большему основанию, отсекает прямоугольный треугольник. Так как в прямоугольном треугольнике один из углов равен 90°, острый угол трапеции по условию 60°, то третий угол: 180° - 90° - 60° = 30°
По условию задачи боковая сторона трапеции, которая является гипотенузой данного прямоугольного треугольника равна 10 см. Катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы:
10/2 = 5 см.
Большее основание трапеции по условию 30 см, тогда меньшее
30 - 5 - 5 = 20 см
Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований:
(30+20)/2 = 25 см.
ответ: 25 см