Question

Диагонали четырёхугольника ABCD пере- секаются в точке О(рис. 11.33). Известно, что угол
BAD равен углу ADC, AO = oD. Докажите, что
AB = CD.​

Answer 1

Для доказательства, что AB = CD, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма и равнобедренного треугольника.

1. Заметим, что по свойствам параллелограмма, диагонали четырехугольника ABCD делятся точкой пересечения О пополам. То есть, AO = OC и BO = OD.

2. Дано, что угол BAD равен углу ADC. Так как углы BAD и ADC образованы пересекающимися прямыми, и у них общая вершина (точка A), то эти углы являются вертикальными углами и, следовательно, они равны.

3. Также дано, что AO = OD. Так как точка O является серединой диагонали BD, то это означает, что треугольник AOB равнобедренный (AO = OB). Аналогично, треугольник DOC также равнобедренный (OD = OC).

4. Из равнобедренности треугольников AOB и DOC следует, что углы AOB и DOC равны между собой. Так как угол BAD равен углу ADC (по условию), то это означает, что угол AOB равен углу DOC.

5. Теперь мы можем заметить, что треугольники AOB и DOC - это два равных треугольника с одинаковыми углами и равными сторонами AO = OC и BO = OD.

6. По свойству равных треугольников, сторона AB равна стороне CD.

Таким образом, мы доказали, что AB = CD, используя свойства параллелограмма и равнобедренного треугольника.