Найти площадь треугольника, координаты вершин которого А(-1;-7), В(3;1) и С(4;-13).
Есть несколько вариантов решения.
1) Прямо по координатам вершин по формуле:
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
1/2 |x1-x3 y1-y3|
|x2-x3 y2-y3|
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:
x1-x3 y1-y3
x2-x3 y2-y3 =
-1 - 4 -7 - (-13)
3 - 4 1 - (-13) =
-5 6
-1 14 = -5*14 - (-1)*6 = -64
По формуле получаем:S = (1/2)*|-64| = 32 кв. ед.
2) вышеприведенное решение - основано на векторном произведении.
Площадь равна половине модуля векторного произведения векторов
АВ и АС.
Находим векторы.
АВ = (3-(-1); 1-(-7)) = (4; 8)
АС = (4-(-1); -13-(-7)) = (5; -6).
Находим их векторное произведение с применением схемы Саррюса.
i j k| i j
4 8 0| 4 8
5 -6 0| 5 -6 = 0i + 0j - 24k - 0j - 0i - 40k = 0i + 0j - 64k.
Модуль равен √(0² + 0² + (-64)²) = 64.
Тогда площадь S = (1/2)*64 = 32 кв. ед.
3) Можно применить формулу Герона, предварительно определив длины сторон.
Координаты векторов сторон
АВ (c) BC (a) AС (b)
x y x y x y
4 8 1 -14 5 -6
Длины сторон АВ (с) = 16 64 80 = 8,94427191
BC (а) = 1 196 197 = 14,03566885
AC (b) = 25 36 61 = 7,810249676
Полупериметр р = 15,39509522
Площадь по Герону 15,39509522 6,450823307 1,359426369 7,584845541 = 32.
Пусть ABC - равнобедренный
∟B = 120 °, АС = 18 см, АК - высота.
В ΔАВС проведем высоту BD к основанию АС.
По свойству равнобедренного треугольника BD - биссектриса и медиана
AD = DC = 1 / 2AC = 18: 2 = 9 (см) (BD - медиана).
∟AВD = ∟DBC = 1 / 2∟В = 120 °: 2 = 60 ° (BD - биссектриса).
Рассмотрим ΔABD - прямоугольный (∟D = 90 °, BD - высота):
∟BAD + ∟ABD = 90 °; ∟BAD = 30 °; ∟BAD = ∟BCD = 30 ° (ΔABC - равнобедренный).
Рассмотрим ΔАКС (∟К = 90 °, АК - высота):
АК - катет, лежащий напротив угла 30 °, тогда АК = 1 / 2АС; АК = 18: 2 = 9 (см).
ответ: Высота AK= 9 см
квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений > 9^2=7^2 + 2a^2
81=49+2a^2
2a^2=32
a^2=16
a=4
ответ:4см