Давай попробуем рассуждать логически. Мысленно в шестиугольник, лежащий в основании пирамиды впишем окружность, пусть её радиус будет х. Высоту пирамиды обозначим Н. Что мы увидим в плоскости, содержащей апофему и высоту призмы? Мы увидим прямоугольный треугольник с катетами х и Н, и углом 60. Следовательно, выполнится соотношение Н=х*tg(60) = x*корень(3). Отлично. Теперь в плоскости основания дополнительно проведём описанную окружность около нашего шестиугольника. Чему будет равен её радиус Х? Он очевидно связан с радиусом вписанной окружности х как Х=2х/корень(3). Переходим теперь в плоскость, содержащую боковое ребро и высоту пирамиды. Что мы видим здесь? Внезапно опять прямоугольный треугольник, теперь со сторонами Н и Х=2х/корень(3). Значит выполнится соотношение: тангенс нужного нам угла (назовём его бетта) равен Н делить на Х, или Н/ (2х /корень(3)). Вместо Н можем подставить ранее полученное отношение, что Н=х*корень(3) Итого, своим всё в кучку: tg(бетта) = х*корень(3) / (2х /корень(3)). Сокращаем х и останется tg(бетта) = 3/2 = 1,5. Ну, так у меня получилось, лучше проверь за мной. А то мало ли, вдруг косяк.
∠AMB + ∠BMP = 180°
∠BMP = 180° - ∠AMB
∠BMP = 180° - 139°
∠BMP = 41°
Рассмотрим ΔMBP:
∠MPB = 90° (т.к. AP - высота)
∠BMP = 41°
Сумма углов в треугольнике равна 180°
∠BMP + ∠MPB + ∠MBP = 180°
∠MBP = 180° - ∠BMP - ∠MPB
∠MBP = 180° - 41° - 90°
∠MBP = 49°
Рассмотрим ΔQBC:
∠QBC=∠MBP = 49°
∠BQC = 90° (т.к. BQ - высота)
Сумма углов в треугольнике равна 180°
∠BQC + ∠QCB + ∠QBC = 180°
∠QCB = 180° - ∠BQC - ∠QBC
∠QCB = 180° - 90° - 49° = 41°
Рассмотрим ΔABC:
∠ACB=∠QCB = 41°
∠ABC = 67°(по условию)
Сумма углов в треугольнике равна 180°
∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°
∠CAB = 180° - ∠ABC - ∠ACB
∠CAB = 180° - 67° - 41°
∠CAB = 72°
ответ: ∠CAB = 72°