Question

а) Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD являются вершинами ромба.​

Answer 1

Добрый день!

Для начала рассмотрим ромб ABCD:

A
/ \
/ \
/____\
B C
\ /
\ /
D

Диагонали ромба пересекаются в точке O:

A
/ \
/ \
/__O__\
B C
\ /
\ /
D

Мы должны доказать, что середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD являются вершинами ромба.

Для начала обратимся к свойству ромба. В ромбе все стороны равны между собой, а все углы равны 90 градусам.

Теперь посмотрим на отрезок ОА:

A
/ \
/ M\
/__O__\
B C
\ /
\ /
D

где M - середина отрезка ОА.

Мы должны доказать, что ОС равно ОМ.

Для начала заметим, что треугольники ОАС и ОМС имеют:
1) ОМ = ОА/2 (по свойству середины отрезка)
2) Угол ОМС равен углу ОАС, так как ОМ является серединой ОА.

Таким образом, у треугольников ОАС и ОМС один угол и две стороны равны, что означает их равенство по стороне-стороне-стороне (по теореме о равенстве треугольников).

Аналогичной логикой, можно доказать, что ОD равно ОМ, ОВ равно ОМ и ОС равно ОМ.

Из этого следует, что все отрезки ОА, ОВ, ОС и ОD равны между собой. Также, так как у нас одинаковые стороны, а все углы ромба равны 90 градусов, то у нас получается ромб с равными сторонами и прямыми углами.

Это и доказывает, что середины отрезков ОА, ОВ, ОС и ОD являются вершинами ромба.

Надеюсь, мое объяснение было понятным. Если у вас возникли еще вопросы, обращайтесь!