Дано : ΔABC остроугольный
AK ⊥ BC ; BD ⊥ AC ; AH =BC , H = AK ∩ BD ( H - точка пересечения высот)
∠BAC -?
ответ: 45° .
Объяснение:
Прямоугольные треугольники HDA и CDB равны ( третий признак равенства _ по гипотенузе и острому углу )
ΔHDA = ΔCDB
* * * ∠HDA = ∠BDC = 90 ° * * *
AH = BC ( гипотенузы по условию )
∠AHD =∠BCD углы со взаимно перпендикулярными сторонами : AH⊥ BC ; HD ⊥ AC (снова по условию) ,
следовательно AD = BD , т.е. прямоугольный треугольник ΔADB равнобедренный ⇒∠BAC = ∠ABC = 45° .
( ! Равенство второго пара катетов: HD = CD можно использовать при построения правильного чертежа. )
* * * Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны ( аналог второго признака равенства для "обычных "треугольников" ) * * *
* * * AK ⊥ BC ⇔ AH⊥ BC ; BD ⊥ AC ⇔ HD ⊥ AC ))) * * *
варианте) и на полученной второй его стороне откладываем отрезок
АВ, равный данной гипотенузе. Из точки В опускаем перпендикуляр на
прямую "а". Для этого:
Из точки В проводим окружность любого радиуса R, чтобы пересекла
прямую "а" в точках G и Q. Из точек G и Q тем же радиусом проводим
две дуги, пересекающиеся в точке M. Прямая ВМ - искомый перпендикуляр.
На пересечении прямых ВМ и "а" ставим точку С.
Соединяем точки А,В и С и получаем прямоугольный треугольник АВС
с прямым углом <C и с заданными гипотенузой и острым углом.
2. На прямой "а" откладываем отрезок, равный одной из сторон, например, АС. Проводим окружности с центрами в точках А и С радиусами, равными двум другим сторонам, например, АВ и СВ соответственно. В точке пересечения этих окружностей получаем точку В. Треугольник построен.
3. На прямой "а" откладываем отрезок, равный стороне АВ, к которой проведена высота СН. Проводим окружность радиуса ВС с центром в точке В. Из точки В к прямой "а" восстанавливаем перпендикуляр и на нем откладываем отрезок ВР, равный высоте СН. Из точки Р проводим перпендикуляр к отрезку ВР и в точке пересечения этого перпендикуляра с проведенной ранее окружностью ставим точку С.
Соединив точки А,С и В получаем искомый треугольник.
P.S. Построение перпендикуляра к прямой в заданную точку не описываю - это стандартное построение.