НА ВЫБОР ОДНУ ИЗ ЗАДАЧ для правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см, найдите косинус угла между ними 13) Для прямоугольного параллелипипеда ABCDA1B1C1D1, у которого АВ=2, АD=2, AA1=1, найдите синус угла между прямой DB1 и плоскостью ACD1
Проведем апофемы SK и SH в гранях SAB и SCD соответственно. ∠KSH = 40° - угол между противоположными боковыми гранями. Это можно доказать:
АВ║DC как стороны квадрата (пирамида правильная, значит в основании квадрат), значит АВ ║ SDC.
Плоскость SAB проходит через прямую АВ, параллельную SDC, и пересекает плоскость SDC, значит линия пересечения плоскостей параллельна АВ.
SK и SH перпендикулярны АВ, значит перпендикулярны и линии пересечения плоскостей. Тогда ∠KSH - линейный угол двугранного угла между плоскостями SAB и SDC.
Итак, ΔKSH - равнобедренный (апофемы равны), углы при основании равны:
∠SKH = ∠SHK = (180° - 40°)/2 = 70°
∠SHK - линейный угол двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания. Это тоже можно доказать:
KH ⊥ DC, так как КВСН прямоугольник (КВ = СН как половины равных сторон, КВ║СН так как лежат на противоположных сторонах квадрата, углы при вершинах С и В прямые),
SH ⊥DC как апофема, ⇒ ∠SHK - линейный угол двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания.
Все боковые грани наклонены под одним углом, так как пирамида правильная.
Т.к. биссектриса проходит через середину стороны AB, то если провести отрезок через эту точку, параллельный основаниям, то он будет является средней линией. Обозначим среднюю линию MN, где M принадлежит AB, а N принадлежит CD. Рассмотрим треугольник MND. Угол NMD = ADM - как накрест лежащие. Угол ADN = углу MDC - по условию (т.к. MD - биссектриса). Тогда угол MDC = углу DMN и тогда треугольник MND - равнобедренный, откуда следует, что MN=ND - как боковые стороны => MN = 7,5. Известно, что средняя линия равна полусумме оснований, тогда их суммеа равна 15. Известно, что меньшее основание равно 3, тогда большее равно 15-3 = 12. По формуле S= (a+b)/2*√(c²-((b-a)²+c²-d²)/2(b-a))²), где a - CD, b - AD, c - AВ, d - CD. Подставим в эту формулу найденные значения: 7,5*√(64-((12-3)²+64-225)/2(12-3)²) ≈ 61 см²...
Проведем апофемы SK и SH в гранях SAB и SCD соответственно. ∠KSH = 40° - угол между противоположными боковыми гранями. Это можно доказать:
АВ║DC как стороны квадрата (пирамида правильная, значит в основании квадрат), значит АВ ║ SDC.
Плоскость SAB проходит через прямую АВ, параллельную SDC, и пересекает плоскость SDC, значит линия пересечения плоскостей параллельна АВ.
SK и SH перпендикулярны АВ, значит перпендикулярны и линии пересечения плоскостей. Тогда ∠KSH - линейный угол двугранного угла между плоскостями SAB и SDC.
Итак, ΔKSH - равнобедренный (апофемы равны), углы при основании равны:
∠SKH = ∠SHK = (180° - 40°)/2 = 70°
∠SHK - линейный угол двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания. Это тоже можно доказать:
KH ⊥ DC, так как КВСН прямоугольник (КВ = СН как половины равных сторон, КВ║СН так как лежат на противоположных сторонах квадрата, углы при вершинах С и В прямые),
SH ⊥DC как апофема, ⇒ ∠SHK - линейный угол двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания.
Все боковые грани наклонены под одним углом, так как пирамида правильная.
ответ: 70°