В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=8, BC=4.
Есть 4 варианта расположения трапеции и окружности при данных ВС и АD. (Представлены на рисунках). Для всех четырех решение и результат одинаковы: Искомое расстояние - это перпендикуляр EF к прямой CD. По условию ВС - средняя линия треугольника ADS. DC=SC, AB=BS. SD=2DC. Тогда по свойству касательной и секущей из одной точки к окружности имеем: SE² = SD*SC = 2DC² или SE = CD√2. Прямоугольные треугольники HDC и FES подобны по острому углу <S=<C (так как НС параллельна AS). Из подобия треугольников имеем: EF/DH = SE/CD => EF = DH*SE/CD. EF=4CD√2/CD = 4√2. Или так: EF=SE*Sin(<ESF) =SE*Sin(<DCH). <ESF=<DCH =α (соответственные углы в подобных треугольниках) α= SE*Sinα Sinα=HD/DC. EF = SE*HD/CD. Или так: EF=SE*Cos(<SEF) =SE*Cos(<FDA). <SEF=<FDA =β (соответственные углы в подобных треугольниках) α= SE*Cosβ Cosβ=HD/DC. EF = SE*HD/CD. Все эти варианты, в принципе, одно и то же. ответ: EF= 4√2.
Так как решение при любых вариантах расположения окружности и трапеции одинаково, можно привести решение подобных задач в общем виде для разных значений ВС и AD. Решение. Пусть ВС= а, AD=b. AD>BC. Прямоугольные треугольники HDC и FES подобны по острому углу <S=<C (так как НС параллельна AS). Из подобия имеем: EF/HD = SE/CD => EF = DH*SE/CD. Следовательно, чтобы найти EF, надо выразить DH, SЕ и CD через основания трапеции ВС и AD. DH=AD-BC = (b-a) (по условию). Прямоугольные треугольники ASD и BSC подобны по общему острому углу <S. Коэффициент подобия равен k=ВC/AD=a/b. Тогда SC=CD*a/(b-a). SD=SC+CD = CD*(a/(b-a)+CD = CD(a/(b-a) +1)= CD*b/(b-a). По свойству касательной и секущей из одной точки к окружности имеем: SE² = SD*SC. SE² = SD*SC=CD*b/(b-a))*CD*a/(b-a) = CD²*a*b/(b-a)². SE = CD*√(a*b)/(b-a). EF=(b-a)*CD*√(a*b)/((b-a)*CD) = √(a*b). ответ: расстояние от точки Е до прямой CD равно √(ВС*AD) для любых значений ВС и AD. ЕF=√(ВС*AD).
Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E.
Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=8, BC=4.
Есть 4 варианта расположения трапеции и окружности при данных
ВС и АD. (Представлены на рисунках).
Для всех четырех решение и результат одинаковы:
Искомое расстояние - это перпендикуляр EF к прямой CD.
По условию ВС - средняя линия треугольника ADS.
DC=SC, AB=BS. SD=2DC. Тогда по свойству касательной и секущей из
одной точки к окружности имеем:
SE² = SD*SC = 2DC² или
SE = CD√2.
Прямоугольные треугольники HDC и FES подобны по острому углу <S=<C (так как НС параллельна AS).
Из подобия треугольников имеем:
EF/DH = SE/CD => EF = DH*SE/CD.
EF=4CD√2/CD = 4√2.
Или так:
EF=SE*Sin(<ESF) =SE*Sin(<DCH).
<ESF=<DCH =α (соответственные углы в подобных треугольниках)
α= SE*Sinα
Sinα=HD/DC.
EF = SE*HD/CD.
Или так:
EF=SE*Cos(<SEF) =SE*Cos(<FDA).
<SEF=<FDA =β (соответственные углы в подобных треугольниках)
α= SE*Cosβ
Cosβ=HD/DC.
EF = SE*HD/CD.
Все эти варианты, в принципе, одно и то же.
ответ: EF= 4√2.
Так как решение при любых вариантах расположения окружности и
трапеции одинаково, можно привести решение подобных задач в общем
виде для разных значений ВС и AD.
Решение.
Пусть ВС= а, AD=b. AD>BC.
Прямоугольные треугольники HDC и FES подобны по острому углу
<S=<C (так как НС параллельна AS). Из подобия имеем:
EF/HD = SE/CD => EF = DH*SE/CD.
Следовательно, чтобы найти EF, надо выразить DH, SЕ и CD через
основания трапеции ВС и AD.
DH=AD-BC = (b-a) (по условию).
Прямоугольные треугольники ASD и BSC подобны по общему острому углу
<S. Коэффициент подобия равен k=ВC/AD=a/b. Тогда
SC=CD*a/(b-a).
SD=SC+CD = CD*(a/(b-a)+CD = CD(a/(b-a) +1)= CD*b/(b-a).
По свойству касательной и секущей из одной точки к окружности имеем:
SE² = SD*SC.
SE² = SD*SC=CD*b/(b-a))*CD*a/(b-a) = CD²*a*b/(b-a)².
SE = CD*√(a*b)/(b-a).
EF=(b-a)*CD*√(a*b)/((b-a)*CD) = √(a*b).
ответ: расстояние от точки Е до прямой CD равно √(ВС*AD) для любых значений ВС и AD.
ЕF=√(ВС*AD).
P.S. для нашего случая ответ:
ЕF= √(4*8) = 4√2.