Question

Привет решить Даны точки M(2; 3), P(-2; 0), O(0; 0), K(-5; -12), R(4; у).
а) Найдите координаты векторов МР и ОК.
б) Найдите длины векторов МР и ОК.
в) Найдите скалярное произведение векторов МР и ОК.
г) Найдите косинус угла между векторами МР и ОК.
д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)?
е) При каком значении у векторы РК и МR перпендикулярны?
2. В равностороннем треугольнике МНР НК – биссектрисса, МН = 2. Вычислите скалярные произведения векторов НК МР, НК НР, РМ РМ

Answer 1

Добрый день! Рассмотрим вопрос по порядку.

а) Для нахождения координат векторов МР и ОК, мы должны вычислить разность между координатами конечной точки и начальной точки каждого вектора.

Координаты вектора МР:
МР = Р - М = (-2 - 2; 0 - 3) = (-4; -3)

Координаты вектора ОК:
ОК = К - О = (-5 - 0; -12 - 0) = (-5; -12)

б) Для нахождения длины векторов МР и ОК, мы можем использовать формулу длины вектора, которая определяется путем вычисления квадратного корня из суммы квадратов его координат.

Длина вектора МР:
|МР| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = sqrt(16 + 9) = sqrt(25) = 5

Длина вектора ОК:
|ОК| = sqrt((-5)^2 + (-12)^2) = sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13

в) Скалярное произведение векторов МР и ОК вычисляется как сумма произведений соответствующих координат векторов.

Скалярное произведение векторов МР и ОК:
МР * ОК = (-4 * -5) + (-3 * -12) = (20 + 36) = 56

г) Косинус угла между векторами МР и ОК можно найти с помощью формулы:

cos(θ) = (МР * ОК) / (|МР| * |ОК|)

cos(θ) = 56 / (5 * 13) = 56 / 65 ≈ 0.8615

д) Чтобы определить тип угла (острый, прямой или тупой), мы можем использовать значение косинуса угла.

Так как cos(θ) > 0, угол между векторами МР и ОК является острым.

е) Чтобы найти значение y такое, что векторы РК и МР перпендикулярны, мы можем воспользоваться свойством перпендикулярных векторов, которое утверждает, что их скалярное произведение равно нулю.

РК * МР = (x1 * x2) + (y1 * y2) = (-5 * -4) + (y * -3) = (20 - 3y) = 0

Решим данное уравнение:

20 - 3y = 0
3y = 20
y = 20 / 3 ≈ 6.6667

Таким образом, при значении y ≈ 6.6667 векторы РК и МР перпендикулярны.

2) Чтобы вычислить скалярные произведения векторов НК МР, НК НР, РМ РМ в равностороннем треугольнике МНР НК, мы воспользуемся свойством равностороннего треугольника, которое утверждает, что биссектрисса делит сторону треугольника пополам и является перпендикулярной ей.

Скалярное произведение вектора НК и МР:
НК * МР = |НК| * |МР| * cos(θ) = (2 * 5 * cos(60°)) = 10 * 0.5 = 5

Скалярное произведение вектора НК и НР:
НК * НР = |НК| * |НР| * cos(θ) = (2 * 2 * cos(60°)) = 4 * 0.5 = 2

Скалярное произведение вектора РМ и РМ:
РМ * РМ = |РМ| * |РМ| * cos(θ) = (5 * 5 * cos(60°)) = 25 * 0.5 = 12.5

С учетом всех расчетов, мы получили ответы на все вопросы. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать их!