Впрямой треугольной призме abca1b1c1, угол acb=90 градусов, ас=вс=а. прямая b1c составляет с плоскостью грани аа1в1в угол 30 градусов. найдите площадь боковой поверхности призмы.

👇

Ответ:

АлиночкаБурова

08.10.2021

В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными "а". Следовательно, его гипотенуза АВ равна а√2.

Угол между наклонной СВ1 и плоскостью АА1В1В - это угол между этой наклонной и ее проекцией на данную плоскость.

Опустим перпендикуляр СН из точки С на плоскость АА1В1В. Этот перпендикуляр - высота треугольника АВС, опущенная из прямого угла АСВ на гипотенузу АВ, а отрезок В1Н - проекция наклонной СВ1 на плоскость АА1В1В.

Высота равнобедренного прямоугольного треугольника АВС является и медианой и по свойству равна половине гипотенузы.

СН = (1/2)*АВ = а√2/2.

Данный нам угол между прямой СВ1 и плоскостью АА1В1В - это угол СВ1Н = 30° между наклонной СВ1 и ее проекцией НВ1.

В прямоугольном треугольнике СНВ1 против угла 30° лежит катет СН, равный половине гипотенузы СВ1.

СВ1 = 2*СН = а√2.

Из прямоугольного треугольника СВВ1 по Пифагору найдем катет ВВ1 (высоту призмы).

ВВ1 = √(СВ1² - СВ²) = √(2а² - а²) = а.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Периметр равен 2а+а√2, а высота равна а. Следовательно,

Sбок = а²(2+√2) ед².

Впрямой треугольной призме abca1b1c1, угол acb=90 градусов, ас=вс=а. прямая b1c составляет с плоскос

4,8(92 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

LeraCat2288

08.10.2021

1. Вспомним признак прямоугольника: если в четырёхугольнике три угла равны по 90°, то этот четырёхугольник - прямоугольник. Рассмотрим и проверим этот признак в данной задаче:

$\begin{cases}\overrightarrow{AB}=24-16=\underline{8},\\\overrightarrow{AB}=15-3=\underline{12}\end{cases} \Rightarrow \boldsymbol{\Big(8; \: 12\Big)}$

$\begin{cases}\overrightarrow{BC}=18-24=\underline{-6},\\\overrightarrow{BC}=19-15=\underline{4}\end{cases} \Rightarrow \boldsymbol{\Big(-6; \: 4\Big)}$

$\begin{cases}\overrightarrow{AD}=10-16=\underline{-6},\\\overrightarrow{AD}=7-3=\underline{4}\end{cases} \Rightarrow \boldsymbol{\Big(-6; \: 4\Big)}$

$\begin{cases}\overrightarrow{CD}=10-18=\underline{-8},\\\overrightarrow{CD}=7-19=\underline{-12}\end{cases} \Rightarrow \boldsymbol{\Big(-8; \: -12\Big)}$

Вспомним свойство о скалярном произведении векторов: если произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Найдём такие пары векторов:

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\Big(8\cdot (-6)\Big)+\Big(12\cdot4\Big)=-48+48=0-\checkmark$

$\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AD}=\Big(-8\cdot (-6)\Big)+\Big(-12\cdot4\Big)=48-48=0-\checkmark$

$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD}=\Big(-6\cdot (-8)\Big)+\Big(4\cdot(-12)\Big)=48-48=0-\checkmark$

Теперь мы можем утверждать, что фигура "ABCD" - прямоугольник, т.к. углы "B", "C" и "D" составляют по 90° каждый.

Что и требовалось доказать.

2. Площадь прямоугольника - произведение его длины и ширины. Поэтому сначала нужно найти, чему равна длина и ширина.

$| \overrightarrow{AB} |=\sqrt{8^2+12^2}=\sqrt{64+144}=\sqrt{208}=\underline{4\sqrt{13}} \\ \\ | \overrightarrow{BC} |=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=\underline{2\sqrt{13}}$