BO - перпендикуляр к плоскости, BA и BC - наклонные к плоскости, OA и OC - их проекции, причём OA = 3OC. Найдите расстояние от точки B до плоскости, если BA = 10 корней из 2 , BC = 6 корней из 2
Для того чтобы найти расстояние от точки B до плоскости, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между точкой и плоскостью.
Дано:
BO - перпендикуляр к плоскости
BA и BC - наклонные к плоскости
OA и OC - их проекции, причём OA = 3OC
BA = 10√2
BC = 6√2
Первым шагом нам нужно найти вектор нормали к плоскости. Для этого нам понадобятся векторы BO, BA и BC.
Вектор BO можно найти, используя координаты точек B и O. Пусть координаты B равны (x₁, y₁, z₁), а координаты O равны (x₂, y₂, z₂). Тогда вектор BO можно найти вычитанием координат точки O из координат точки B:
BO = (x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂)
Вектор BA можно найти аналогичным образом, используя координаты точек B и A:
BA = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁)
Аналогично, вектор BC можно найти, используя координаты точек B и C:
BC = (x₄ - x₁, y₄ - y₁, z₄ - z₁)
Далее нам нужно найти векторное произведение векторов BA и BC. Обозначим его как вектор n:
n = BA × BC
Теперь, зная вектор нормали к плоскости, мы можем использовать его координаты (n₁, n₂, n₃) для записи уравнения плоскости в общем виде:
n₁(x - x₁) + n₂(y - y₁) + n₃(z - z₁) = 0
Мы знаем, что точка B лежит на этой плоскости, поэтому мы можем подставить её координаты (x₁, y₁, z₁) в уравнение плоскости:
n₁(x₁ - x₁) + n₂(y₁ - y₁) + n₃(z₁ - z₁) = 0
Это уравнение сводится к:
0 = 0
Таким образом, уравнение плоскости имеет вид 0 = 0, что говорит нам о том, что плоскость проходит через точку B.
Обратим внимание на знаки координат вектора n. Если одна из координат будет отрицательной, то это будет означать, что плоскость находится с противоположной стороны по отношению к точке B.
Осталось найти расстояние между точкой B и плоскостью. Для этого мы можем воспользоваться формулой:
d = |n₁x₁ + n₂y₁ + n₃z₁ + D| / √(n₁² + n₂² + n₃²)
где D = -n₁x₁ - n₂y₁ - n₃z₁.
В нашем случае, так как плоскость проходит через точку B, координаты точки B (x₁, y₁, z₁) удовлетворяют уравнению плоскости, то есть:
n₁x₁ + n₂y₁ + n₃z₁ + D = 0
а значит D = 0. Таким образом, формула для расстояния упрощается:
d = |n₁x₁ + n₂y₁ + n₃z₁| / √(n₁² + n₂² + n₃²)
Теперь мы можем подставить в неё значения координат точки B и вектора нормали n:
Дано:
BO - перпендикуляр к плоскости
BA и BC - наклонные к плоскости
OA и OC - их проекции, причём OA = 3OC
BA = 10√2
BC = 6√2
Первым шагом нам нужно найти вектор нормали к плоскости. Для этого нам понадобятся векторы BO, BA и BC.
Вектор BO можно найти, используя координаты точек B и O. Пусть координаты B равны (x₁, y₁, z₁), а координаты O равны (x₂, y₂, z₂). Тогда вектор BO можно найти вычитанием координат точки O из координат точки B:
BO = (x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂)
Вектор BA можно найти аналогичным образом, используя координаты точек B и A:
BA = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁)
Аналогично, вектор BC можно найти, используя координаты точек B и C:
BC = (x₄ - x₁, y₄ - y₁, z₄ - z₁)
Далее нам нужно найти векторное произведение векторов BA и BC. Обозначим его как вектор n:
n = BA × BC
Теперь, зная вектор нормали к плоскости, мы можем использовать его координаты (n₁, n₂, n₃) для записи уравнения плоскости в общем виде:
n₁(x - x₁) + n₂(y - y₁) + n₃(z - z₁) = 0
Мы знаем, что точка B лежит на этой плоскости, поэтому мы можем подставить её координаты (x₁, y₁, z₁) в уравнение плоскости:
n₁(x₁ - x₁) + n₂(y₁ - y₁) + n₃(z₁ - z₁) = 0
Это уравнение сводится к:
0 = 0
Таким образом, уравнение плоскости имеет вид 0 = 0, что говорит нам о том, что плоскость проходит через точку B.
Обратим внимание на знаки координат вектора n. Если одна из координат будет отрицательной, то это будет означать, что плоскость находится с противоположной стороны по отношению к точке B.
Осталось найти расстояние между точкой B и плоскостью. Для этого мы можем воспользоваться формулой:
d = |n₁x₁ + n₂y₁ + n₃z₁ + D| / √(n₁² + n₂² + n₃²)
где D = -n₁x₁ - n₂y₁ - n₃z₁.
В нашем случае, так как плоскость проходит через точку B, координаты точки B (x₁, y₁, z₁) удовлетворяют уравнению плоскости, то есть:
n₁x₁ + n₂y₁ + n₃z₁ + D = 0
а значит D = 0. Таким образом, формула для расстояния упрощается:
d = |n₁x₁ + n₂y₁ + n₃z₁| / √(n₁² + n₂² + n₃²)
Теперь мы можем подставить в неё значения координат точки B и вектора нормали n:
d = |n₁x₁ + n₂y₁ + n₃z₁| / √(n₁² + n₂² + n₃²)
Подставим:
d = |n₁・x₁ + n₂・y₁ + n₃・z₁| / √(n₁² + n₂² + n₃²)