см чертеж. Пардон, я поменял точки В и С местами, уж простите.
У меня обозначено катет АВ = 12, а катет ВС=5. Гипотенуза обозначена АС. Ясно, что она равна 13 (это Пифагорова тройка 5;12;13), и окружность проходит через точки А и С.
Окружность проходит через точки А и С, и к тому же в точке С - касается (не может она в другой точке касаться, а в этой пересекать :))) так не бывает). То есть центр окружности лежит на пересечении перпендикуляра к ВС в точке С и перпендикуляра к АС в точке М - середине АС(то есть такая точка - единственная). Осталось найти на перпендикуляре из точки С к ВС такую точку О, что АО = ОС = R.
На рисунке приведено решение, суть его такова - проводим из О препендикуляр к АВ, получаем прямоугольник со сторонами R и ВС.
Условие перпендикулярности векторов Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов: (m,a)=Xm*Xa+Ym*Ya+Zm*Za (1). В нашем случае координаты вектора а={2;1;1}, координаты вектора b={1;1;2} и тогда:(m,a)=Xm*2+Ym*1+Zm*1 =0. Аналогично (m,b)=Xm*1+Ym*1+Zm*2 =0 (2). Единичный вектор имеет длину (модуль) равную 1, то есть |m| = √(Xm²+Ym²+Zm²)=1. Возведем в квадрат: Xm²+Ym²+Zm²)=1 (3). Из (2) вычтем (1): Xm-Zm=0 или Xm=Zm, тогда Ym= -3Xm. Подставим эти значения в (3): Xm²+9Xm²+Xm²)=1 => Xm=Zm=1/√11, Ym=-3/√11. Итак, искомый единичный вектор m = {1/√11;-3/√11;1/√11}. Но есть и противоположно направленный ему вектор -m, который также перпендикулярен векторам а и b. Противоположно направленные вектора, это вектора, координаты которых пропорциональны и коэффициент пропорциональности ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ. Коэффициент пропорциональности равен -1. Значит вектор -m = {-1/11;3/11;-1/11}.
Второй вариант: Векторное произведение векторов a и b по определению - вектор, перпендикулярно направленный плоскости параллелограмма, образованного векторами а и b. Находим вектор по формуле: | i j k | (a*b)= |2 1 1 | = i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx) или |1 1 2 | (a*b)= i(2-1)-j(4-1)+k(2-1) = i -3j +k. то есть мы получили вектор (a*b) с координатами (a*b)={1;-3;1}. Модуль (длина) этого вектора равна |a*b| = √(1+9+1) =√11. Мы знаем, что единичный вектор - это вектор, коллинеарный данному, но имеющий модуль, равный 1. То есть каждую координату необходимо разделить на модуль вектора |a*b|. Это вектор m={1/√11; -3/√11; 1/√11} и противоположный ему вектор -m={-1/√11; 3/√11; -1/√11}.
см чертеж. Пардон, я поменял точки В и С местами, уж простите.
У меня обозначено катет АВ = 12, а катет ВС=5. Гипотенуза обозначена АС. Ясно, что она равна 13 (это Пифагорова тройка 5;12;13), и окружность проходит через точки А и С.
Окружность проходит через точки А и С, и к тому же в точке С - касается (не может она в другой точке касаться, а в этой пересекать :))) так не бывает). То есть центр окружности лежит на пересечении перпендикуляра к ВС в точке С и перпендикуляра к АС в точке М - середине АС(то есть такая точка - единственная). Осталось найти на перпендикуляре из точки С к ВС такую точку О, что АО = ОС = R.
На рисунке приведено решение, суть его такова - проводим из О препендикуляр к АВ, получаем прямоугольник со сторонами R и ВС.
(АВ - R)^2 + BC^2 = R^2;
AC^2 = 2*AB*R; R = AC^2/(2*AB).
R = 13^2/24 = 169/24.