Угол между радиусами вписанной окружности правильного многоугольника, проведёнными в точки касание этой окружности с соседними сторонами многоугольника, равен 20 градусов. Найдите количество сторон многоугольника.
------
Полная окружность 360°, угол между соседними радиусами, проведенными в точки касания соседних сторон, 20°. Всего таких углов 360°:20°=18
Подробно.
Радиус, проведенный в точку касания окружности с прямой, перпендикулярен ей.
Два радиуса, проведенные из центра в точки касания А и С соседних сторон правильного многоугольника, образуют с ними четырехугольник АОСВ, два угла которого прямые, а третий, ∠АОС= 20°.
Суммы углов выпуклого многоугольника 180°•(n-2), где n- количество сторон (и углов) многоугольника. Для четырехугольника сумма углов равна 360°.
∠АВС равен 360°-2•90°-20°=160°
Тогда сумма углов многоугольника равна 160n⇒
160°•n=180°•(n-2) ⇒
180°n-160n=360°
20n=360° ⇒
n=18
Правильная четырехугольная призма - прямоугольный параллелепипед.
Пусть данная призма - АВСДА₁В₁С₁Д₁
Сделаем рисунок. (Во втором рисунке призма «уложена" на боковую грань для большей наглядности. )
Решение.
АВ ⊥ ВС1 (если прямая перпендикуляра плоскости, она перпендикулярна любой прямой на этой плоскости).
Диагональ АС₁ - гипотенуза прямоугольного треугольника АВС₁
Тогда АВ, сторона основания, противолежащая углу 30º, равна половине АС₁
АВ=ВС=СД=ДА=2
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
D²=а²+b²+c²16=2²+2²+h²⇒
h²=16-8=8
h=√8=2√2
Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее основания на высоту.
Р=4*2=8 см
Ѕ бок=8*2√2=16√2 см²
-------------.
Высоту призмы можно найти иначе.
а) Сначала найдем диагональ ВС₁ боковой грани- она равна АС₁·cos 30°=(4 √3):2=2 √3
Высоту h трапеции найдем по т. Пифагора из треугольника ВСС₁
h² =(2 √3)²+2²=12-4=8
h=2√2
-------
б) Тот же результат получим, найдя по т. Пифагора из треугольника АВС₁ диагональ ВС₁ боковой грани, затем из прямоугольного треугольника ВСС₁
высоту призмы СС₁.