Question

4. В прямоугольном треугольнике с катетами 5 и 12 опущена высота на
гипотенузу. Найдите эту высоту и
отрезки, на которые она делит
гипотенузу.
[5]
5. В треугольнике ABC угол Сравен
90°, угол А равен 30°, AC = 2. Найдите
АВ.​

Answer 1

4.

Дано:

ABC - прямоугольный треугольник

AB = 5см

BC = 12см

AC - гипотенуза

BD - высота, опущенная на гипотенузу AC

Для начала вычислим длину гипотенузы AC, воспользовавшись теоремой Пифагора:

$AC = \sqrt{AB^{2}+BC^{2} } =\sqrt{5^{2} +12^{2} }=\sqrt{169} = 13$

Опустив высоту AD на гипотенузу AC у нас получилось два прямоугольный треугольника - ABD с гипотенузой AB и BCD с гипотенузой BC. Пусть AD = x, тогда DC = 13 - x, так как AC = 13 см.

Поскольку высота AD является общим катетом для треугольников ABD и BCD запишем:

$BD = \sqrt{AB^{2}-x^{2} } =\sqrt{BC^{2}-(13-x)^{2} } \\AB^{2}-x^{2} = BC^{2}-(13-x)^{2}\\5^{2}-x^{2} = 12^{2}-(13^{2} - 26x + x^{2} )\\25-x^{2} = 144-169 + 26x - x^{2}\\26x = 50\\x=\frac{25}{13} = 1\frac{12}{13}$

Итак, AD = x = $1\frac{12}{13}$ см., а DC = 13 - x = $11\frac{1}{13}$ см.

Найдём высоту BD:

$BD = \sqrt{AB^{2}-AD^{2} } = \sqrt{5^{2}-(\frac{25}{13} )^{2} } = 4.615$ см.

Высота BD делит гипотенузу AC на отрезки 1 12/13 см. и 11 1/13 см.

Высота BD равна 4,615 см.

(странные какие-то цифры, но я перепроверил решение несколько раз - всё сходится вроде бы...)

5.

Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

AB является гипотенузой. Следовательно:

cos(30) = 2 / AB

$\frac{\sqrt{3} }{2} = \frac{2}{AB} \\AB = \frac{4}{\sqrt{3} }$