1) параллелограмм АВСД: АВ||СД, ВС||АД AN⊥ABC и KC⊥AВC Т.к. если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости (AN⊥AC и КС⊥АС) Плоскость КВС⊥плоскости АВС, т.к. плоскость КВС проходит через прямую КС, перпендикулярную к АВС (согласно теореме: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны). Аналогично плоскость ANД⊥плоскости АВС, т.к. плоскость ANД проходит через прямую AN, перпендикулярную к АВС. Т.к. плоскости ANД и КВС, перпендикулярные к одной прямой АС, значит они параллельны.
2) Прямоугольный ΔАВС (∠В прямой) Из точки S опустим перпендикуляр SO на плоскость АВС. По условию точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника, значит наклонные SA=SB=SC , а следовательно и их проекции на плоскость АВС ОА=ОВ=ОС. Значит О - центр описанной окружности около ΔАВС. Т.к. в прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы М, то значит точки О и М совпадают, тогда SM перпендикулярна плоскости АВС
АС и АВ - касательные к окружности с центром Q. Следовательно АК - биссектриса угла А и по свойству биссектрисы делит катет ВС в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон АС и и АВ. То есть СК/КВ=АС/АВ. АВ найдем по Пифагору: АВ=√(АС²+ВС²)=√(144+25)=13. КВ=СВ-СК=5-СК. Тогда 13СК=(5-СК)*12=60-12СК, отсюда СК=2,4. Проведем из центра первой окружности прямую, параллельную катету АС до пересечения с радиусом QН второй окружности, проведенным в точку касания с катетом АС (QH перпендикулярен АС по свойству радиуса в точку касания). Тогда из прямоугольного треугольника ОРQ имеем: ОQ=R+r=R+0,5; QP=R-0,5; PO=√(OQ²-QP²)=√[(R+0,5)²-(R-0,5)²). Отсюда РО=√(2R). НС=РО=√(2R). Тогда из подобия треугольников НАQ и АСК (НQ параллелна СК, так как перпендикулярна АС) имеем: НQ/CK=AH/AC. HQ=R; HC=√(2R); CK=2,4; AH=12-HC=12-√(2R). Тогда R/2,4=(12-√(2R))/12, отсюда 12*R=2,4*((12-√(2R)) или 6*2R=12*2,4-2,4*√(2R). Примем √(2R)=Y. Тогда 2R=Y² и мы имеем квадратное уравнение: 6Y²+2,4Y-12*2,4=0. Разделим на 6: Y²+0,4Y-4,8=0, отсюда (отбрасывая отрицательный корень) Y=2. Итак, √(2R)=2, отсюда R=2. Следовательно, радиус второй окружности МЕНЬШЕ (1/5)*АС=12/5=2,4. Что и требовалось доказать.
AN⊥ABC и KC⊥AВC
Т.к. если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости (AN⊥AC и КС⊥АС)
Плоскость КВС⊥плоскости АВС, т.к. плоскость КВС проходит через прямую КС, перпендикулярную к АВС (согласно теореме: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны).
Аналогично плоскость ANД⊥плоскости АВС, т.к. плоскость ANД проходит через прямую AN, перпендикулярную к АВС.
Т.к. плоскости ANД и КВС, перпендикулярные к одной прямой АС, значит они параллельны.
2) Прямоугольный ΔАВС (∠В прямой)
Из точки S опустим перпендикуляр SO на плоскость АВС.
По условию точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника, значит наклонные SA=SB=SC , а следовательно и их проекции на плоскость АВС ОА=ОВ=ОС. Значит О - центр описанной окружности около ΔАВС.
Т.к. в прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы М, то значит точки О и М совпадают, тогда SM перпендикулярна плоскости АВС