№1 АA 1 – биссектриса угла треугольника АВС, причём АС = 24 см, АВ = 18 см, ВA 1 = 6 см. Найдите A 1 C. Выберите верный ответ.
а) 8см б) 4см в) 6см г) 3 см
№2 Площади двух подобных треугольников равны 25 см 2 и 49 см 2 . Одна из
сторон первого треугольника 20 см. Найдите сходственную ей сторону
второго треугольника. Выберите правильный ответ.
а) 28 см б) 50 см в)56 см г)14 см
№3 Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, причём
АВ : А 1 В 1 = АС : А 1 С 1 = ВС : В 1 С 1 = 3:4.
Найдите отношение площадей треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 .
№4 Треугольники АВС и МNК подобны. Стороны АВ и МN − сходственные,
АС и МK – сходственные. Найдите периметр треугольника MNK,
если AB =14см, BC =16см, AC = 18см и MK : AC = 1 : 2.
Согласно данному свойству, если биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на две части, то отношение этих частей равно отношению двух других сторон треугольника.
Таким образом, мы можем построить пропорцию: АС : A1C = AB : A1B.
Подставляя известные значения, получаем: 24 : A1C = 18 : 6.
Далее, решим эту пропорцию:
24 * 6 = 18 * A1C,
144 = 18 * A1C,
A1C = 144 / 18,
A1C = 8.
Значит, A1C равно 8 см. Ответ: а) 8 см.
№2 Площади двух подобных треугольников относятся между собой как квадраты соответствующих сторон.
Пусть сторона первого треугольника равна x, а сторона второго треугольника равна y.
Тогда имеем следующую пропорцию: 25 / 49 = x^2 / y^2.
Решим пропорцию:
25 * y^2 = 49 * x^2,
y^2 = 49x^2 / 25,
y = sqrt(49x^2 / 25),
y = (7x) / 5.
Таким образом, сходственная сторона второго треугольника равна (7x) / 5.
Подставляя известное значение x = 20, получаем:
y = (7 * 20) / 5,
y = 28.
Значит, сходственная сторона второго треугольника равна 28 см. Ответ: а) 28 см.
№3 Для решения данной задачи мы должны использовать свойства подобных треугольников.
Если два треугольника подобны, то отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон.
Задано, что AB : A1B = AC : A1C = BC : B1C = 3:4.
Тогда пусть AB = 3x, A1B = 4x, AC = 3y, A1C = 4y, BC = 3z, B1C = 4z, где x, y и z - некоторые числа.
Таким образом, у нас есть соотношение сторон треугольников.
Поскольку площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними, получим следующие формулы для площадей треугольников:
S_ABC = (1/2) * AB * AC * sin(A) = (1/2) * (3x) * (3y) * sin(A) = (9/2) * x * y * sin(A),
S_A1B1C1 = (1/2) * A1B * A1C * sin(A1) = (1/2) * (4x) * (4y) * sin(A1) = (8/2) * x * y * sin(A1).
Теперь найдем отношение площадей треугольников:
S_ABC / S_A1B1C1 = [(9/2) * x * y * sin(A)] / [(8/2) * x * y * sin(A1)] = (9/8) * sin(A) / sin(A1).
Поскольку углы треугольников АВС и А1В1С1 противоположны соответствующим сторонам, sin(A) / sin(A1) = BC / B1C = 3z / 4z = 3/4.
Тогда отношение площадей треугольников равно (9/8) * (3/4) = 27/32.
Значит, отношение площадей треугольников АВС и А1В1С1 равно 27/32. Ответ: нет подходящего варианта.
№4 Для решения данной задачи мы также будем использовать свойства подобных треугольников.
Поскольку треугольники АВС и МNK подобны, то отношения длин соответственных сторон равны.
Задано, что MK : AC = 1 : 2. Тогда пусть MK = x и AC = 2x, где x - некоторое число.
Таким образом, у нас есть соотношение сторон треугольников.
Теперь найдем отношения других сторон:
AB : MN = AC : MK = 2 : x,
BC : NK = AC : MK = 2 : x.
Зная, что AB = 14 см и BC = 16 см, мы можем найти MN и NK.
Используя пропорции:
14 : MN = 2 : x,
16 : NK = 2 : x.
Решим первую пропорцию:
14 * x = 2 * MN,
x = (2 * MN) / 14,
x = MN / 7.
Вторую пропорцию решим аналогично:
16 * x = 2 * NK,
x = (2 * NK) / 16,
x = NK / 8.
Подставляя значения известных сторон и x = MN / 7 = NK / 8, получаем:
MN / 7 = 2 / x,
MN / 7 = 2 / (MN / 7),
MN^2 = 14,
MN = sqrt(14).
NK / 8 = 2 / x,
NK / 8 = 2 / (NK / 8),
NK^2 = 16,
NK = 4.
Таким образом, MN = sqrt(14) и NK = 4.
Периметр треугольника MNK равен сумме длин его сторон:
P = MN + NK + MK = sqrt(14) + 4 + x.
Подставляя x = MN / 7 = sqrt(14) / 7, получаем:
P = sqrt(14) + 4 + sqrt(14) / 7 = 8 + 2 * sqrt(14) / 7.
Значит, периметр треугольника MNK равен 8 + 2 * sqrt(14) / 7. Ответ: нет подходящего варианта.