468. Знайдіть сторону AC трикутника АВС, якщо: а) АВ = 20 см, ZB = 30°, 2C = 45°; б) BC = 15 см, ZA = 60°, ZB = 45°; в) АВ = 18 см, ZA =105°, 20 = 30°.
Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен 13. Диаметр окружности, следовательно, равен 26, и является диагональю данного по условию прямоугольника. Обозначим вершины прямоугольника АВСД. Тогда ВД - его диагональ и делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника -АВД и ВСД. Рассмотрим треугольник ВСД. Гипотенуза равна 13, и вспоминается одна из троек Пифагора с отношением его сторон сторон прямоугольного треугольника 5:12:13. Отношение сторон этого треугольника может быть таким же: ВС:СД:ВД=5:12:13 Тогда его гипотенуза 26, катеты 10 и 24, И площадь прямоугольника АВСД= 10*24=240. Всё сходится. Но не всегда вспоминаются эти тройки, да и отношение сторон может быть иным. Решение. Площадь треугольника ВСД равна половине площади прямоугольника АВСД и равна 120. Проведем в этом треугольнике высоту СН. Площадь ВСД=СН*26:2 120*2=СН*26 СН=240/26=120/13 ВС - сторона прямоугольника = катет треугольника ВСН. Найти его можно из этого треугольника по т.Пифагора. Для того, чтобы найти ВН, воспользуемся правилом: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой; СН²=ВН*НД (120/13)²=ВН*(26-ВН) Обозначим ВН=х, тогда НД=26-х Подставим в уравнение высоты эти значения: 1400/169=26х-х² Домножим обе части уравнения на 169, чтобы избавиться от дроби: 1400=4394х-169х² 169х²-4394х+14400=0 Решим квадратное уравнение: Дискриминант равен: D=b²-4ac=-43942-4·169·14400=9572836 х=(-b±√D):2а х1=-(-4394)+√9572836):2*169= (4394+3094):338=7288/338=288/13 Второй корень находить нет необходимости. Найдем катет ВС. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой (ВД) и отрезком (ВН) гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. ВС²=ВН²+СН² ВС²=(288/13)²+(120/13)² ВС²=576 ВС=24 Из площади прямоугольника найти вторую его сторону не составит труда. АВ=240:24=10 Периметр прямоугольника Р=2(АВ+ВС)=2*(24+10)=68
△BAL, △CAL - равнобедренные треугольники
Рассмотрим случаи:
1) ∠B=∠BAL
1.1) ∠С≠∠CAL, т.к. в противном случае BL=AL=CL, медиана равна половине стороны, следовательно проведена из прямого угла, но ∠BAC=48°.
1.2) ∠CAL=∠ALС
∠ALС=2∠B (внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним)
∠CAL=2∠B
∠BAL+∠CAL=48° <=> 3∠B=48° <=> ∠B=16°, ∠С=180°-∠B-∠BAC=116°
1.3) ∠С=∠ALС
∠ALС=2∠B (внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним)
∠С=2∠B
∠С+∠B=180°-48°=132° <=> 3∠B=132° <=> ∠B=44°, ∠С=88°
2) ∠BAL=∠ALB
2.1) ∠С=∠CAL. Аналогично 1.2
2.2) ∠CAL≠∠ALC. Углы при основаниях равнобедренных треугольников острые, следовательно не могут составлять развенутый угол.
2.3) ∠C≠∠ALC, см. 2.2
3) ∠B=∠ALB
3.1) ∠С=∠CAL. Аналогично 1.3
3.2) ∠CAL≠∠ALC, см. 2.2
3.3) ∠C≠∠ALC, см. 2.2