Пусть A' – середина дуги BC. Так как OA' || IA2, прямые OI и A'A2 пересекаются в точке K – центре гомотетии описанной и вписанной окружностей (см. рис.). Докажем, что K – искомый радикальный центр.
Первый Так как инверсия с центром A' и радиусом A'B меняет местами прямую BC и описанную окружность Ω треугольника ABC, точка A1 переходит в A, а A2 – в точку A'' пересечения прямой A'A2 с описанной окружностью. Следовательно, точки A, A1, A2 и A'' лежат на одной окружности.
Степень точки K относительно описанной окружности треугольника AA1A2 равна – KA2·KA'' = – r/R AA'·KA'' = r/R s(K), где s(K) – степень точки K относительно Ω.
Очевидно, степени точки K относительно описанных окружностей треугольников BB1B2 и CC1C2 будут такими же, то есть K – радикальный центр трёх окружностей.
Второй Пусть A', B', C' – середины дуг BC, CA, AB. Тогда треугольник A'B'C' переводится в A2B2C2 гомотетией с коэффициентом r/R и центром K, то есть KA2 : A'A2 = KB2 : B'B2 = KC2 : C'C2 = k : 1. Для точек прямой A'A2 разность степеней относительно описанной окружности треугольника AA1A2 и вписанной окружности треугольника ABC является линейной функцией. В точке A2 эта функция равна нулю,
а в точке A' – r², поскольку A'A1·A'A = A'B² = A'I² (первое равенсто следует из подобия треугольников A'A1B и A'BA, а второе – из леммы о трезубце – см. задачу 53119). Значит, в точке K эта разность равна – kr². Другие аналогичные разности в точке K также равны – kr², откуда и следует требуемое
Объяснение:
По теореме Пифагора :
АВ=корень (ВС^2-АС^2)=
корень (24^2-7^2)=корень (576+49)=
=корень 625=25 см
Медиана, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы :
СМ=1/2×АВ=1/2×25=25/2=12,5 см
Острый угол между гипотенузой и медианой
это угол СМА, т. к против меньшей стороны лежит меньший угол (у тр-ков ВСМ и СМА боковые стороны равны, а сторона АС меньше стороны ВС, значит <СМА меньший)
Тр-к СМА - равнобедренный (СМ=АМ),
МН - высота и медиана.
АН=АС:2=7:2=3,5 см
Тр-к НМА - прямоугольный,
По теореме Пифагора :
МН=корень (АМ^2-АН^2) =
=корень (12,5^2-3,5^2)=корень 144=12 см
S=1/2×AC×MH=1/2×7×12=42 cм^2
S=1/2×CM×AM×sin<CMA=
=1/2×12,5×12,5×sin<CMA
42=78,125×sin<CMA
sin<CMA=42:78,125=0,5376
По теореме косинусов :
cos<CMA=(CM^2+AM^2-AC^2)/(2×CM×AM) =
=(12,5^2+12,5^2-7^2)/(2×12,5×12,5)=
=(156,25+156,25-49)/312,5=
=263,5/312,5=0,8432
ответ : sin<CMA=0,5376
cos<CMA=0,5376
Відповідь:
P = a+b+c
a = b
P = 2a+c
c = a-3
P = 2a+a-3
2a+a-3 = 18
3a= 18+3
3a= 21
a= 21/3
a= 7см
b = 7см
c = 7-3 = 4см
якщо сторона рівностороннього трикутника = 7см
P = 3*a P = 3*7 P = 21см
якщо сторона рівностороннього трикутника = 4см
P = 3*a P = 3*4 P = 12см