Question

Через сторону АВ равностороннего треугольника АВС проведена плоскость α. Проекция точки С на эту плоскость удалена от прямой АВ на расстояние 2$\sqrt{3}$ см. АС = 8 см. Найдите: 1) расстояние от точки С до плоскости α;
2) длины проекций сторон данного треугольника на плоскость α.

Answer 1

Добрый день! Давайте решим задачу по очереди. 1) Для начала найдем высоту треугольника АВС. Так как треугольник АВС равносторонний, то высота, опущенная из вершины С, будет являться и медианой и биссектрисой треугольника, а также будет делить сторону АВ пополам. Значит, высота будет равна половине длины стороны АВ: Высота = АВ/2 = 8/2 = 4 см. Теперь нам дано, что проекция точки С на плоскость α удалена от прямой АВ на расстояние 2√3 см. Обозначим это расстояние как х. Тогда, согласно свойству проекции, это расстояние равно расстоянию от точки С до плоскости α. Значит, расстояние от точки С до плоскости α равно 2√3 см. 2) Чтобы найти длины проекций сторон треугольника АВС на плоскость α, нам нужно найти длины отрезков, соединяющих каждую вершину треугольника с ее проекцией на плоскость α. Прежде всего, найдем проекцию вершины А. Так как треугольник равносторонний, высота проходит через центр равностороннего треугольника и делит его на два равных равносторонних треугольника. То есть, если мы нарисуем линию из вершины А, перпендикулярную плоскости α, то проекция точки С будет располагаться на середине этой линии. Значит, проекция точки А на плоскость α также будет являться серединой этой линии. Так как высота равностороннего треугольника делит каждую сторону пополам, длина проекции стороны АВ будет равна половине длины стороны АВ, то есть 4 см/2 = 2 см. Теперь найдем проекцию вершины В. Для этого нарисуем линию из вершины В, перпендикулярную плоскости α, и найдем середину этой линии. Значит, проекция точки В на плоскость α также будет являться серединой этой линии. Так как высота делит каждую сторону пополам, длина проекции стороны АС будет равна половине длины стороны АВ, то есть 4 см/2 = 2 см. Таким образом, длины проекций сторон треугольника АВС на плоскость α равны 2 см и 2 см. Надеюсь, мой ответ был понятен и полезен. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!