Дано:ABCD - прямоугольная трапеци, ВС=2 см, AD=3 см Найти: r - радиус вписанной окружности. Решение: В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. ВС+AD=BA+CD=2+3=5 (см)
Проведем высоту СН. ВС=АН=2 ⇒ HD=3-2=1 (см)
По теореме Пифагора HD²=СD²-CH² Воспользуемся формулой разности квадратов HD²=(СD-CH)(СD+CH)
СD+CH=СD+ВА=5; HD=1 Подставляем эти значения 1=(СD-CH)·5 ⇒ СD-CH=1/5
Составим систему уравнений Решая систему, получаем
СН - высота трапеции. Радиус вписанной окружности равен ее половине.
Только половина : в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. доказательство пусть δ abc – равнобедренный с основанием ab, и cd – медиана, проведенная к основанию. в треугольниках cad и cbd углы cad и cbd равны, как углы при основании равнобедренного треугольника , стороны ac и bc равны по определению равнобедренного треугольника, стороны ad и bd равны, потому что d – середина отрезка ab . отсюда получаем, что δ acd = δ bcd . из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: acd = bcd, adc = bdc . из первого равенства следует, что cd – биссектриса. углы adc и bdc смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому cd – высота треугольника. теорема доказана.
Найти: r - радиус вписанной окружности.
Решение:
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
ВС+AD=BA+CD=2+3=5 (см)
Проведем высоту СН.
ВС=АН=2 ⇒ HD=3-2=1 (см)
По теореме Пифагора
HD²=СD²-CH²
Воспользуемся формулой разности квадратов
HD²=(СD-CH)(СD+CH)
СD+CH=СD+ВА=5; HD=1
Подставляем эти значения
1=(СD-CH)·5 ⇒ СD-CH=1/5
Составим систему уравнений
Решая систему, получаем
СН - высота трапеции. Радиус вписанной окружности равен ее половине.
ответ: