Итак, уравнение сферы: (x + 1)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 9. Это и есть ответ на первую часть вопроса.
б) Чтобы найти координаты точек оси ординат, принадлежащих данной сфере, нужно подставить значения x и z равные 0 в уравнение сферы и решить получившееся уравнение относительно y.
1. Дано:
- Мы имеем окружность с центром в точке O.
- На касательной к окружности через точку А отмечена точка B.
- Известно, что AB = 9 см.
- Также известно, что ∠ABO = 30°.
2. Нам нужно найти радиус окружности (R) и отрезок BO.
3. Обратите внимание на треугольник АВО и дугу АВ (часть окружности). Мы знаем, что угол между касательной и радиусом окружности всегда является прямым углом.
4. Поскольку ∠ABO = 30°, ∠OBA = 90° - 30° = 60° (из свойств углов треугольника).
5. Теперь давайте рассмотрим треугольник АВО. У нас есть правильный треугольник, поскольку ∠OBA = 60°. В правильном треугольнике все стороны равны.
6. Мы знаем сторону AB = 9 см. Поскольку треугольник АВО правильный, сторона АО (а также BO) также будет равной 9 см.
7. Таким образом, мы нашли длину отрезка BO, который равен 9 см.
8. Теперь нужно найти радиус окружности. У нас есть прямоугольный треугольник ОВА, где сторона ВО это радиус окружности (R).
9. Так как мы уже знаем, что BO = 9 см, то ОB является катетом прямоугольного треугольника.
10. Мы можем воспользоваться тригонометрической функцией для нахождения радиуса окружности. Так как угол ∠OBA равен 60°, косинус этого угла равен прилежащему катету (ОВ) деленному на гипотенузу (R). То есть, cos(60°) = ОВ / R.
11. Косинус 60° равен 0,5. Подставив это значение в уравнение, получаем 0,5 = 9 / R.
12. Чтобы решить это уравнение, мы можем применить обратную операцию, умножив обе стороны на R, чтобы избавиться от деления. Получится 0,5R = 9.
13. Чтобы найти R, делим обе стороны уравнения на 0,5: R = 9 / 0,5.
14. Вычисляя это, получаем R = 18.
Таким образом, радиус окружности составляет 18 см, а отрезок BO равен 9 см.
а) Чтобы составить уравнение сферы, нам понадобятся информация о центре сферы и радиусе.
Центр сферы у нас уже дан - это точка o(-1, 0, 2).
Радиус (r) сферы можно найти, используя расстояние между центром сферы и точкой на сфере, в данном случае - точкой а(1, 2, 1).
Для этого воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
где d - расстояние между точками (значение радиуса), (x1, y1, z1) - координаты центра сферы, (x2, y2, z2) - координаты точки на сфере.
Подставляем значения:
d = √((1 - (-1))^2 + (2 - 0)^2 + (1 - 2)^2)
= √(2^2 + 2^2 + (-1)^2)
= √(4 + 4 + 1)
= √9
= 3
Таким образом, радиус сферы равен 3.
Теперь можем составить уравнение сферы. Общий вид уравнения сферы:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2,
где (a, b, c) - координаты центра сферы, r - радиус сферы.
Подставляем значения:
(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 + (z - 2)^2 = 3^2
(x + 1)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 9
Итак, уравнение сферы: (x + 1)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 9. Это и есть ответ на первую часть вопроса.
б) Чтобы найти координаты точек оси ординат, принадлежащих данной сфере, нужно подставить значения x и z равные 0 в уравнение сферы и решить получившееся уравнение относительно y.
Подставляем:
(x + 1)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 9
(0 + 1)^2 + y^2 + (0 - 2)^2 = 9
1 + y^2 + 4 = 9
y^2 + 5 = 9
y^2 = 4
y = ±√4
y = ±2
Итак, координаты точек оси ординат, принадлежащих данной сфере, будут (0, 2, 0) и (0, -2, 0).
Таким образом, ответ на вторую часть вопроса: координаты точек оси ординат, принадлежащих данной сфере, это (0, 2, 0) и (0, -2, 0).
Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!