Пусть A1,B1 и C1- середины сторон BC,CA и AB; A2,B2 и C2- основания высот; A3,B3 и C3- середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами. Так как A2C1 = C1A = A1B1 и A1A2||B1C1, точка A2 лежит на описанной окружности треугольника A1B1C1. Аналогично точки B2 и C2 лежат на описанной окружности треугольника A1B1C1. Рассмотрим теперь окружность S с диаметром A1A3. Так как A1B3||CC2 и A3B3||AB, то <A1B3A3 = 90°, а значит, точка B3 лежит на окружности S. Аналогично доказывается, что точки C1,B1 и C3 лежат на окружности S. Окружность S проходит через вершины треугольника A1B1C1, поэтому она является его описанной окружностью. При гомотетии с центром H и коэффициентом 1/2 описанная окружность треугольника ABC переходит в описанную окружность треугольника A3B3C3, т. е. в окружность девяти точек. Значит, при этой гомотетии точка O переходит в центр окружности девяти точек.
Пусть А₁, В₁,С₁ — средины сторон ВС, АС и АВ; A₂, B₂, C₂ — основы высот; A₃, B₃, C₃ — средины отрезков AH,BH,CH.
Поскольку ∠AA₂B =90°, то АС₁ = С₁А₂, как радиусы круга, описанной вокруг АВА₂. Следовательно С₁А₂ = А₁В₁.
Кроме того, А₁А₂ || В₁С₁. Поэтому С₁А₂А₁В₁ - равносторонняя трапеция и точка А₂ лежит на окружности, описанном вокруг треугольника A₁B₁C₁.Рассмотрим теперь круг с диаметром А₁А₃. Поскольку А₁В₃ || СС₂, A₃B₃ || AB, то ∠A₃B₃A₁=90°, следовательно точка В₃ лежит на окружности. Поэтому точка А₁ лежит на окружности, описанном вокруг треугольника А₃В₃С₃. Аналогично доводим что точки B₁ и С₁, C₃,B₂,C₂лежат на окружности. Следовательно, все 9 отмеченых точек находятся на данном круге.
Поскольку при гомотетии с центром Н и коэффициентом 1/2 треугольник АВС переходит в треугольник А₃В₃С₃, то и центр О круга, описанной вокруг треугольника АВС, перейдёт в центр Р круга, описанной вокруг треугольника А₃В₃С₃. Поэтому Р - средина отрезка ОН.
S=ah
s= d1*d2/2
..