Хорошая задача, заставляющая тряхнуть стариной и вспомнить некоторые трюки, полезные при работе с трапецией.
Трапеция ABCD; AD - большее основание, внизу; BC - меньшее основание, наверху. Перенесем диагональ BD на величину верхнего основания. Другими словами, через точку С проводим прямую, параллельную BD, до пересечения с продолжением AD в точке E. Получился равнобедренный треугольник ACE с боковыми сторонами, равными диагоналям трапеции, то есть AC=CE=50; при этом основание треугольника равно сумме оснований трапеции, то есть удвоенной средней линии; AE=96. Расстояние между основаниями трапеции равно высоте этого треугольника, найдем ее. Поскольку высота CF равнобедренного треугольника ACE, опущенная на его основание, является также медианой, можем найти CF из прямоугольного треугольника ACF с теоремы Пифагора:
Замечание. Многие наряду с самым известным прямоугольным треугольником с целыми сторонами (египетским: 3-4-5) знают и несколько других, одним из них является треугольник 7-24-25, стороны которого в 2 раза меньше сторон нашего. Заметив это, можно было избежать применение теоремы Пифагора (впрочем, не знаю, что сказала бы на этот счет Ваша учительница)
В основании прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. С теоремы Пифагора (или обратив внимание на соотношение катетов) находим гипотенузу AB=2a. Найдем высоту пирамиды. Поскольку боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к плоскости основания, проекции этих ребер на основание совпадают (каждая из них находится из прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является высота пирамиды, а углом напротив нее является угол в 30°). Отсюда следует, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной вокруг треугольника, являющегося основанием пирамиды. Но этот треугольник по условию прямоугольный⇒центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, в точке D. AD=AB/2=a; H/AD=tg 30°; H=a/√3; V =(1/3)S_(основания)·H=(1/3)(1/2)a·a√3·a/√3=a^3/6
Объяснение:
17. S(ACE)=1/2*CE*AE
AE=S(ACE)*2/CE=85*2/17=10
AD=2*AE=2*10=20
S(ABCD)=(AD+BC)*CE/2=(20+6)*17/2=221
18. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней линии):
BE=(BC+AD)/2
S(ABCD)=BE*(BC+AD)/2=BE²=9²=81