Треугольники AQC и DQB очевидно равны по трем сторонам, а значит совмещаются поворотом вокруг точки Q (синий и красный треугольники). Значит их медианы QN и QM тоже совместятся при этом повороте, т.е. ∠MQN равен углу между прямыми AC и DB (т.к. диагональ AC переходит в DB).
Аналогично, треугольники APC и BPD совместятся поворотом вокруг точки Р, т.е., ∠MPN между их медианами РМ и РN тоже равен углу между диагоналями четырехугольника. В любом случае, получаем либо ∠MPN=∠MQN, либо ∠MPN+∠MQN=180°, что и означает, что точки PQМN лежат на одной окружности.
Достаточно доказать, что вектора АВ и ВС, АВ и AD, CD и ВС перпендикулярны Для этого найдем координаты векторов: АВ{Xb-Xa;Yb-Ya} или АВ{-2-(-1);1-2}. AB{-1;-1} BC{1-(-2);-2-1} или ВС{3;-3}. AD{2-(-1);-1-2} или AD{3;-3}. СD{2-1;-1-(-2)} или CD{1;1}. Вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. (AB*BC)=Xab*Xbc+Yab*Ybc = -3+3 =0. АВ перпендикулярен ВС. (AB*AD)=Xab*Xad+Yab+Yad=-3+3=0. АВ перпендикулярен AD. (BC*CD)=Xbc*Xcd+Ybc*Ycd}=3-3=0. CD перпендикулярен ВС. Четырехугольник АВСD - прямоугольник.
70° 100°
Объяснение:
Нехай ∠А=х°, тоді ∠В=х+30°, ∠С=10°, отже
х+х+30+10=180
2х=140
х=70.
∠А=70°, ∠В=70+30=100°.