Якщо ще актуально)
Дано: ABCD - паралелограм, АС - діагональ, ВН⟂АС, АН= 6 см, СН= 15 см, ВС–АВ= 7 см.
Знайти: S abcd.
Розв'язання.
Розглянемо трикутники АНВ і СНВ.
Вони прямокутні, а сторона ВН для них є спільним катетом. АН= 6 см, СН= 15 см, тому очевидно, що ВС>АВ.
Нехай АВ= х см, тоді ВС= (х+7) см.
Оскільки ВН - спільна сторона, тоді справедлива така рівність (через т.Піфагора у ΔAHB і ΔCHB):
АВ²–АН²= ВС²–НС²;
х²–6²= (х+7)²–15²;
х²–6²= х²+14х+49–225;
х²–х²–14х= 36+49–225;
–14х= –140;
14х= 140;
х= 10 (см)
Отже, АВ= 10 см, тоді:
ВН²= х²–6²= 10²–6²= 100–36= 64;
ВН= 8 см (–8 не може бути)
Розглянемо ΔABC:
AC= AH+HC= 6+15= 21 см
ВН= 8 см, ВН - висота ΔABC, оскільки ВН⟂АС.
Знайдемо площу ΔАВС:
S= ½•AC•BH;
S= ½•21•8= 84 (см²).
Діагоналі паралелограма ділять його на два рівних трикутники, тобто їх площі рівні.
SΔABC= SΔCDA= 84 см²
Звідси площа паралелограма ABCD дорівнює
S abcd= 2•SΔABC= 2•84= 168 (см²).
Відповідь: 168 см².
Якщо ще актуально)
Дано: ABCD - паралелограм, АС - діагональ, ВН⟂АС, АН= 6 см, СН= 15 см, ВС–АВ= 7 см.
Знайти: S abcd.
Розв'язання.
Розглянемо трикутники АНВ і СНВ.
Вони прямокутні, а сторона ВН для них є спільним катетом. АН= 6 см, СН= 15 см, тому очевидно, що ВС>АВ.
Нехай АВ= х см, тоді ВС= (х+7) см.
Оскільки ВН - спільна сторона, тоді справедлива така рівність (через т.Піфагора у ΔAHB і ΔCHB):
АВ²–АН²= ВС²–НС²;
х²–6²= (х+7)²–15²;
х²–6²= х²+14х+49–225;
х²–х²–14х= 36+49–225;
–14х= –140;
14х= 140;
х= 10 (см)
Отже, АВ= 10 см, тоді:
ВН²= х²–6²= 10²–6²= 100–36= 64;
ВН= 8 см (–8 не може бути)
Розглянемо ΔABC:
AC= AH+HC= 6+15= 21 см
ВН= 8 см, ВН - висота ΔABC, оскільки ВН⟂АС.
Знайдемо площу ΔАВС:
S= ½•AC•BH;
S= ½•21•8= 84 (см²).
Діагоналі паралелограма ділять його на два рівних трикутники, тобто їх площі рівні.
SΔABC= SΔCDA= 84 см²
Звідси площа паралелограма ABCD дорівнює
S abcd= 2•SΔABC= 2•84= 168 (см²).
Відповідь: 168 см².
1) Так как треугольник ВАМ (расстояние между В и М соединяем линией) прямоугольный, воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения МВ;
МВ²=МА²+АВ²
МВ²=1²+3²
МВ=√10 см
2) ∆МАД также прямоугольный, так что повторяем предыдущие шаги:
МД²=1²+4²
МД=√17 см
(Напоминаю, что длина и расстояние – одно и то же).
3) Диагонали ромба в точке пересечения делятся на двое, так что АД=АС=4 см.
4) По теореме Пифагора ВД²=ВА²+АД²;
ВД²=3²+4²
ВД=√25=5 см
(Диагонали ромба в точке пересечения создают прямой угол).
5) В 3-ем пункте мы нашли отрезок АС, так что теперь приступаем к теореме Пифагора:
МС²=1²+4²
МС=√17 см.
6) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов деленое на два.
Так что S ∆mac = 4×1÷2 = 2 см²