Длины всех ребер правильной шестиугольной призмы равны. Вычислителе длину большей диагонали призмы, если известно, что площадь боковой поверхности призмы равна 96 см².
Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы находится по формуле:
а - ребро нашей призмы.
Обратим внимание на чертеж. Искомая длина большей диагонали есть длина гипотенузы прямоугольного треугольника АА₁D.
По условию в фигуру можно вписать окружность радиуса r = 7, и её центр лежит в середине диагонали BD. Диагональ BD является биссектрисой углов B и D четырехугольника ABCD. То есть фигура симметрична относительно этой диагонали. Это означает, что диагональ AC = 50 перпендикулярна диагонали BD и делится ею пополам. Дальше, r = (BD/2)*sin(B/2) = (BD/2)*sin(D/2); что означает, что углы B и D равны. То есть четырехугольник является ромбом, а центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей и делит ОБЕ диагонали пополам. Легко увидеть, что этот ромб составлен из 4 прямоугольных треугольников с высотой 7 и одним из катетов 25. Не знаю, как - кому, а мне так кажется, что этот треугольник подобен Пифагоровому треугольнику (7,24,25), причем большему катету 24 соответствует половина диагонали AC, то есть коэффициент подобия равен 25/24; все это можно и так описать - проекция половины диагонали AC на боковую сторону равна 24, так как 24^2 = 25^2 - 7^2; и (BD/2)/7 = 25/24; То есть BD/2 = 7*25/24; S = 50*7*25/24 = 4375/12;
Длины всех ребер правильной шестиугольной призмы равны. Вычислителе длину большей диагонали призмы, если известно, что площадь боковой поверхности призмы равна 96 см².
Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы находится по формуле:
а - ребро нашей призмы.
Обратим внимание на чертеж. Искомая длина большей диагонали есть длина гипотенузы прямоугольного треугольника АА₁D.
AD = 2 * 4 = 8 (см)
По теореме Пифагора:
с² = a² + b²
AD₁² = AD² + DD₁²
AD₁² = 8² + 4²
AD₁² = 64 + 16
AD₁² = 80
AD₁ = √(16*5) = 4√5 (см)
ответ: 4√5 см