1. Прежде заметим, что AB = CD = 3√2; AD = BC = 5; (рисунок) ∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 180° - 45° = 135° (Свойства параллелограмма)
а) AD · AB = BC · AB = |BC| · |AB| · cos ∠A = 5 · 3√2 · cos 45° = 15√2 · √2 / 2 = 15
б) BA · BC = |BA| · |BC| · cos ∠B = 3√2 · 5 · cos 135° = -15√2 · √2/2 = -15
в) AD · BH = 0, так как AD ⊥ BH
2. a {-4; 5}, b {-5; 4} - вектора
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ = -4·(-5) + 5·4 = 20 + 20 = 40
3. a {-12; 5}, b {3; 4} - вектора
cos ∠(a, b) = a · b / (|a| · |b|)
a · b = -12·3 + 5·4 = -36 + 20 = -16
|a|² = (-12)² + 5² = 144 + 25 = 169 ⇒ |a| = √169 = 13
|b|² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ⇒ |b| = √25 = 5
cos ∠(a, b) = -16 / (13·5) = -16/65
4. m {3; y}, n {2; -6} - ненулевые вектора
m ⊥ n ⇔ m·n = 0 (m,n ≠ 0)
Вроде так
m·n = 3·2 + y·(-6) = 6 - 6y = 0
-6y = -6
y = 1
5. Для того, чтобы "выйти" на cos ∠B нам понадобятся вектора BA и BC. Найдем их координаты:
BA {3 - 0; 9 - 6} = {3; 3}
BC {4 - 0; 2 - 6} = {4; -4}
BA · BC = 3 · 4 + 3 · (-4) = 12 - 12 = 0.
Так как BA, BC ≠ 0 ⇒ BA ⊥ BC ⇒ cos ∠B = 0
Объяснение:
1) Концы отрезка, который не пересекает плоскость, отдалены от нее на 3 см и 8 см. Проекция отрезка на плоскость равна 12 см. Найти длину отрезка.
-----
Обозначим отрезок АВ. Расстоянием от точки до плоскости является длина отрезка, проведенного к ней перпендикулярно.
АА1 и ВВ1 перпендикулярны плоскости, следовательно, перпендикулярны В1А1.
АА1║ВВ1,
АВВ1А1 - прямоугольная трапеция.
ВВ1=3 см.АА1=8 см,
ВС║В1А1 ⇒ А1С=ВВ1=3 см, АС=8-3=5 см.
ВС=В1А1=12 см.
Катеты прямоугольного ∆ АВС относятся как 5:12 - треугольник из Пифагоровых троек, ⇒гипотенуза АВ=13 см.
* * *
2) Из точки, которая находится на расстоянии 6 см от плоскости, проведены две наклонные. Найти расстояние между основаниями наклонных, если угол между каждой наклонной и ее проекцией равен 30°, а угол между проекциями наклонных 120°.
-------
Наклонные АВ и АС, расстояние до плоскости АН=6 см, ∠АВН=∠АСН=30°
ВН=СН=АН:tg30°=6√3
∆АНС равнобедренный, угол ВНС=120° ( дано).
Проведем высоту НМ к основанию ВС. Высота в равнобедренном треугольнике - биссектриса и медиана. ⇒ ∆ ВНМ=∆ СНМ, ∠ВНМ=СНМ=60°
ВМ=ВН•sin60°=6√3•√3/2=9
BC=2•BМ=18 см (по т.косинусов ВС также равно 18 см)
* * *
3) Из вершины А прямоугольника АВСD со сторонами 7 см и 14 см к его плоскости проведен перпендикуляр АМ=7 см. Найти расстояние от точки М до прямых DС и DB.
--------
Примем АВ=14 см, АD=7 см. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной отрезка, проведенного перпендикулярно от точки до прямой. По т. о 3-х перпендикулярах МD пп DC, МВ пп ВС.
В прямоугольном ∆ MAD катеты равны, следовательно, он равнобедренный с острыми углами, равными 45°.
MD=AD:sin45°=7√2.
Из прямоугольного ∆ МАВ расстояние МВ=√(AB²+AM²)=√(196+49)=7√5 см
Расстояние от М до BD отрезок МН, перпендикулярный диагонали ABCD.
По т. о 3-х перпендикулярах МН⊥DB,⇒ его проекция АН⊥DB.
АН=AD•AB:BD
∆ ADB=∆ MAB по двум катетам,⇒ DB=MB=7√5
AH=7•14:7√5=14/√5
MH=√(AM²+AH²)=√(441/5)=21/√5=4,2√5 или ≈ 9,39 см