Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. В правильном треугольнике биссектриса это ещё медиана и высота. Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины. Таким образом радиус (r) вписанной окружности это треть от высоты треугольника.
Высота (h) правильного треугольника со стороной 18см:
h = 18·sin60° = 18·(√3)/2 = 9√3 см
r = h/3 = (9√3)/3 = 3√3 см
ответ: 3√3 см.
Можно так же вывести формулу связи радиуса (r) вписанной в правильный треугольник окружности и стороны (а) треугольника.
Прямоугольные треугольники OMK и ONK равны по гипотенузе и катету. Значит, ∠OKN = ∠OKM ⇒ OK - биссектриса угла MKN.
∠MKN = 2 · ∠ OKN = 2 · 30° = 60°.
Рассмотрим равнобедренный треугольник MKN, в нем ∠MKN = ∠KMN = ∠KNM = 60° ⇒ ΔMKN - равносторонний ⇒ NM=10 см.
ответ: 10 см.