1. Площадь треугольника ABC равна 1. На его сторонах BC и AC взяли точки K и M так, что AM:CM=2:5, BK:CK=1:2. Отрезки AK и BM пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника BOK. 2. Площадь треугольника ABC равна 1. На его сторонах BC и AC взяли точки K и M так, что AM:CM=1:7, BK:CK=2:3. Отрезки AK и BM пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника BOK
см. рисунок. Там сделали допостроения и обозначения.
СВ=х
АС=х-7
по т. Пифагора (х-7)²+х²=13²
отсюда х=12 (отрицательное значение ж не подходит)
х-7=5
Катеты будут 5 и 12.Напишем их зеленым на рисунке, чтоб удобнее было.
А теперь самое интересное.
Центр опис.окр. лежит на серединных перпендикулярах. Что и обозначено. Т.е. СМ=12/2=6
Дальше, ∠СОК - центральный для ∠СВК, значит он = 2α, тогда угол СОН в 2 раза меньше ( треугольник СОК равнобедр. с высотой ОН) и равен α. Обозначим зеленым.
Тогда ∠ОСМ=90-α-45=45-α
теперь из Δ ОСМ имеем R=CM/cos(45-α)
R=6/cos(45-α)
подставляя формулу косинуса разности получаем
cos(45-α)=cos45cosα+sin45sinα=√2/2(cosα+sinα)
но из первоначального треугольника, когда нашли его катеты, имеем
cosα=12/13
sinα=5/13
a cosα+sinα=12/13+5/13=17/13
cos(45-α)=17√2/26
и R=6/(17√2/26)=78√2/17
вроде так.