Дано :
∆АВС.
∠АВС = 158°.
СН — высота.
∠ВАС = 14°.
Найти :
∠АСН = ?
Так как ∠АВС — тупой, то ∆АВС — тупоугольный треугольник (по определению).
В тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два угла острые (следствие из теоремы о сумме углов треугольника).Следовательно —
∠ВАС и ∠ВСА — острые.
Помимо этого —
В тупоугольном треугольнике высоты, выходящие из вершин острых углов, лежат вне треугольника.То есть высота СН — лежит вне треугольника.
Рассмотрим прямоугольный ∆АСН (так как ∠АНС = 90° по условию).
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.То есть —
∠НАС + ∠АСН = 90°
∠АСН = 90° - ∠НАС
∠АСН = 90° - 14°
∠АСН = 76°.
76°.
Доказательство:
1) См. рисунок 1
∠AMC = 90° т.к M - проекция A на l
∠)OCN = 90° т.к l - касательная к окружности в точке C, OC - радиус в точку касания
Следовательно AM || OC
Значит ∠MAC = ∠ACO
AO = OC (как радиусы) ⇒ ΔACO - равнобедренный ⇒ ∠CAO = ∠ACO
Значит ∠MAC = ∠CAO
∠MCA = 90 - a
∠DCA = 90 - a (∠CDA = 90° т.к D - проекция C на AB)
Следовательно ∠MCA = ∠DCA
Откуда следует, что ΔMAC = ΔDAC по стороне и двум углам (AC - общая)
А значит AM = AD
2) Аналогично доказывается BD = BN (см. Рисунок 2)
3) См. Рисунок 3.
∠ACB = 90° т.к опирается на диаметр
В ΔABC: ∠CAB = 90° - ∠CBD
В ΔCBD: ∠DCB = 90° - ∠CBD
Следовательно ∠CAB = ∠DCB
Откуда следует, что ΔABC подобен ΔCBD по двум углам.
Значит
⇒ 
Из пунктов 1 и 2:
AM = AD
BD = BN
Следовательно
Доказано
============
Не забывайте нажать " ", поставить оценку и, если ответ удовлетворил, то выберите его как "Лучший"
Бодрого настроения и добра!
Успехов в учебе!