. На стороне BC треугольника ABC отметили точку P так, что BP : PC = 5 : 6. Через точку P провели прямую, которая параллельна стороне AC треугольника и пересекает сторону AB в точке N. Найдите сторону AC, если PN = 15 см.
Треугольники BPN и BCA подобны, так как у них ∠ABC - общий, ∠BPN = ∠BCN как соответственные углы при параллельных прямых AC и NP и секущей BC. Значит BC:BP = AC:NP. BC:BP = (BP + PC):BP = 1 + PC:BP = 1 + 6/5 = 11/5
Для решения данной задачи, нам понадобится знать свойство параллельно пересекающихся прямых. Если две прямые параллельны, а на одной из них есть точка пересечения с другой прямой, то отрезки, образованные на прямой, заключающие между точкой пересечения и точками пересечения с параллельной прямой, имеют пропорциональные отношения.
В данной задаче у нас есть отрезок PN, который пересекает прямую AC, параллельную стороне BC треугольника ABC. Мы знаем, что BP : PC = 5 : 6. Давайте обозначим длину отрезка BC как x.
Так как BP : PC = 5 : 6, то мы можем записать отношение следующим образом: BP = 5x/11 и PC = 6x/11.
Теперь давайте рассмотрим треугольник BPN. В нем у нас уже есть две известные стороны: BP и PN. Обозначим длину стороны BN как y.
Используем свойство пропорциональности отрезков на параллельных прямых:
BN : NP = BC : PC
Заменим известные значения:
y : 15 = x : (6x/11)
Теперь, чтобы определить сторону AC, нам нужно найти значение x. Выразим x из данного уравнения:
y/15 = 11/6
Умножим обе части уравнения на 15:
y = (11/6) * 15
y = 27.5
Таким образом, мы нашли сторону BN, которая равна 27.5 см. Однако, в задаче нас просят найти сторону AC. Заметим, что сторона AC равна сумме сторон AN и NC.
Становится ясно, что сторона AN равна y см или 27.5 см.
Теперь осталось найти длину отрезка NC. Обратимся снова к свойству пропорциональности отрезков:
BN : NC = BP : PC
Подставим известные значения:
27.5 : NC = (5x/11) : (6x/11)
Домножим обе части уравнения на 11:
27.5 * (6x/11) = 5x
(165/11) * x = 5x
Перенесем 5x на одну сторону:
0 = 5x - (165/11) * x
Домножим обе части уравнения на 11, чтобы избавиться от знаменателя:
0 = 55x - 165
Перенесем 165 на другую сторону:
55x = 165
x = 3
Таким образом, мы нашли сторону BC, которая равна 3 см. Но мы искали сторону AC.
AC = AN + NC = 27.5 + (6x/11) = 27.5 + (6 * 3/11) = 27.5 + 1.64 = 29.14 см.
Треугольники BPN и BCA подобны, так как у них ∠ABC - общий, ∠BPN = ∠BCN как соответственные углы при параллельных прямых AC и NP и секущей BC. Значит BC:BP = AC:NP. BC:BP = (BP + PC):BP = 1 + PC:BP = 1 + 6/5 = 11/5
AC:NP = 11:5
AC = NP * 11/5 = 33 см
ответ: AC = 33 см.