Окружность вписанная в квадрат ABCD касается его стороны BC в точке k отрезки AK и BK пересекает окружность в точках p и q. Найдите длину отрезка PQ если сторона квадрата равна 1 см
1. Построим фигуру согласно условию задачи. Имеется квадрат ABCD со стороной 1 см и вписанная в него окружность. Окружность касается стороны BC в точке K. Здесь стоит отметить, что касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
2. Обозначим точки пересечений линий AK и BK с окружностью как P и Q соответственно.
3. Так как окружность вписана в квадрат, то отрезки AK и BK являются радиусами окружности, а отрезки KP и KQ являются касательными к окружности. Так как касательные, проведенные к окружности из точек касания, равны по длине, то KP = KQ.
4. Мы также можем заметить, что отрезки KP и KQ являются поровну высеченными дугами окружности. Это означает, что угол KPQ является прямым углом, так как он высекает полную окружность.
5. Рассмотрим треугольник KPQ.
- Угол KPQ равен 90 градусам, как мы заметили ранее.
- Угол PKQ также равен 90 градусам, так как он является вписанным углом, высекающим полную окружность.
- Угол PKQ является общим углом для треугольников KPQ и AKB.
- Треугольник AKB является прямоугольным, так как сторона BC квадрата касается окружности в точке K. Также, угол AKB является прямым, поскольку стороны квадрата AB и BC перпендикулярны друг другу.
6. Теперь мы можем воспользоваться свойством подобных треугольников. Треугольник KPQ подобен треугольнику AKB, так как у них один общий угол (PKQ) и два прямых угла (KPQ и AKB).
7. Используя подобие треугольников KPQ и AKB, мы можем установить пропорцию:
KP/PQ = AK/AB.
8. Обратим внимание на проекцию треугольника KPQ на сторону AB квадрата. Она делит сторону AB на две части равной длины, так как углы KPQ и AKB равны, а сторона BC параллельна AB. Значит, AK = BK = 1/2.
9. Применяя результат из шага 8 к пропорции из шага 7, мы получаем:
KP/PQ = 1/2/1.
KP/PQ = 1/2.
10. Зная, что KP = KQ (они равны, так как являются поровну высеченными дугами окружности), можем переписать пропорцию:
KP/KQ = 1/2.
11. Приравняем значения KP и KQ и решим пропорцию:
KP/KQ = 1/2.
KP = KQ/2.
12. Заметим, что KP и KQ образуют весь отрезок PQ, поэтому:
PQ = KP + KQ.
13. Подставим значение KP из шага 11 в формулу:
PQ = KQ/2 + KQ.
15. Мы знаем, что длина стороны квадрата равна 1 см. Следовательно, сторона AB и сторона BC также равны 1 см. Значит, отрезок KQ, который является касательной, проведенной к окружности, равен половине стороны BC. То есть, KQ = 1/2 см.
16. Подставим значение KQ в формулу:
PQ = 3 * 1/2 / 2.
PQ = 3/4 см.
1. Построим фигуру согласно условию задачи. Имеется квадрат ABCD со стороной 1 см и вписанная в него окружность. Окружность касается стороны BC в точке K. Здесь стоит отметить, что касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
2. Обозначим точки пересечений линий AK и BK с окружностью как P и Q соответственно.
3. Так как окружность вписана в квадрат, то отрезки AK и BK являются радиусами окружности, а отрезки KP и KQ являются касательными к окружности. Так как касательные, проведенные к окружности из точек касания, равны по длине, то KP = KQ.
4. Мы также можем заметить, что отрезки KP и KQ являются поровну высеченными дугами окружности. Это означает, что угол KPQ является прямым углом, так как он высекает полную окружность.
5. Рассмотрим треугольник KPQ.
- Угол KPQ равен 90 градусам, как мы заметили ранее.
- Угол PKQ также равен 90 градусам, так как он является вписанным углом, высекающим полную окружность.
- Угол PKQ является общим углом для треугольников KPQ и AKB.
- Треугольник AKB является прямоугольным, так как сторона BC квадрата касается окружности в точке K. Также, угол AKB является прямым, поскольку стороны квадрата AB и BC перпендикулярны друг другу.
6. Теперь мы можем воспользоваться свойством подобных треугольников. Треугольник KPQ подобен треугольнику AKB, так как у них один общий угол (PKQ) и два прямых угла (KPQ и AKB).
7. Используя подобие треугольников KPQ и AKB, мы можем установить пропорцию:
KP/PQ = AK/AB.
8. Обратим внимание на проекцию треугольника KPQ на сторону AB квадрата. Она делит сторону AB на две части равной длины, так как углы KPQ и AKB равны, а сторона BC параллельна AB. Значит, AK = BK = 1/2.
9. Применяя результат из шага 8 к пропорции из шага 7, мы получаем:
KP/PQ = 1/2/1.
KP/PQ = 1/2.
10. Зная, что KP = KQ (они равны, так как являются поровну высеченными дугами окружности), можем переписать пропорцию:
KP/KQ = 1/2.
11. Приравняем значения KP и KQ и решим пропорцию:
KP/KQ = 1/2.
KP = KQ/2.
12. Заметим, что KP и KQ образуют весь отрезок PQ, поэтому:
PQ = KP + KQ.
13. Подставим значение KP из шага 11 в формулу:
PQ = KQ/2 + KQ.
14. Найдем общий знаменатель:
PQ = (KQ + 2KQ)/2.
PQ = 3KQ/2.
15. Мы знаем, что длина стороны квадрата равна 1 см. Следовательно, сторона AB и сторона BC также равны 1 см. Значит, отрезок KQ, который является касательной, проведенной к окружности, равен половине стороны BC. То есть, KQ = 1/2 см.
16. Подставим значение KQ в формулу:
PQ = 3 * 1/2 / 2.
PQ = 3/4 см.
Таким образом, длина отрезка PQ равна 3/4 см.