Условие не совсем корректное. В равностороннем треугольнике нет большей или меньшей стороны, на то он и равносторонний.
В сети можно найти несколько вариантов похожих задач с разными данными.
Вариант 1.
Решаем задачу о равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) с боковой стороной, равной 4, и большей стороной АС.
АС=0,75•(4+4)=6 см
Биссектриса угла против основания равнобедренного треугольника совпадает с высотой и медианой, поэтому АМ=СМ и ∆ АВМ=∆ СВМ – прямоугольные.
Искомое расстояние - высота МН треугольника АВМ.
cos BAM=AM:AB=3/4
MH=AM•sin HAM
sin(HAM)=√(1-cos*)=√(1- 9/16)=√7/4
MH=3√7/4
——
Возможно, задача все же о разностороннем треугольнике.
Вариант 2.
В разностороннем треугольнике большая сторона составляет 75% суммы двух других. Точка М, принадлежащая этой стороне, является концом биссектрисы треугольника. Найдите расстояние от точки М до меньшей стороны треугольника, если меньшая высота треугольника равна 4 см.
Здесь условие корректное - есть и большая сторона, и меньшая.
АС=0,75•(AB+BC)
По свойству биссектрисы треугольника ВМ делит противоположную углу сторону АС в отношении прилежащих сторон.
АВ:ВС=АМ:СМ
АМ=0,75 АВ
Меньшая высота - высота, проведена к большей стороне. ВК=4
Из формулы площади треугольника
ВК•AM=MH•AB
НМ=ВК•AM:AB ⇒ НМ=ВК•0,75 АВ:AB
HM=4•0,75=3 см
36:3=12.
Опустим высоту в треугольнике до пересечения с окружностью. Соединим полученную точку с одной из оставших вершин заданного треугольника. Получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является диаметром окружности. Угол между высотой треугольника и его стороной равен 30°. Высота в правильном треугольнике является и биссектрисой и медианой. 60°:2=30°.
Вычислим диаметр окружности:
d=12:cos30°=12:(√3/2)=24/√3=24·√3/√3·√3=24√3/3=8√3.
Диагональю квадрата является диаметр окружности. Обозачим сторону квадрата через а.
По теореме Пифагора: a²+a²=d², 2a²=(8√3)².
2a²=64·3,
a²=32·3=16·2·3,
a=√16·6=4√6.
a=4√6.