Впрямоугольный треугольник вписана окружность. точка касания вписанной окружности с одним из катетов делит этот катет на отрезки 8 см и 7 см. найдите диаметр окружности, вписанной около данного прямоугольного треугольника. нужно решение
Ясно, что один из отрезков - тот, который имеет своим концом вершину прямого угла - равен радиусу вписанной окружности. Это сразу понятно, если провести радиусы в точки касания - у вершины прямого угла получится квадрат, образованный двумя радиусами и двумя отрезками катетов.
Поскольку два угла прямоугольнного треугольника ОСТРЫЕ, то есть из половинки меньше 45 градусов, то отношение радиуса вписанной окружности к отрезку стороны от вершины острого угла до точки касания МЕНЬШЕ, чем 1. Поэтому радиус вписанной окружности равен 7, а один из катетов равен 15. Точки касания делят гипотенузу на отрезки 8 и x, а второй катет - на отрезки 7 и х.
(8 + x)^2 = (7 + x)^2 + 15^2;
x = (15^2 + 7^2 - 8^2)/2 = 105;
поэтому стороны треугольника равны 15, 112, 113.
Само собой, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы 113/2.
(интересная Пифагорова тройка 15, 112, 113, - она получается, если взять Пифагорову тройку 5,12,13, и приписать 1 слева :) забавно было бы найти все такие тройки, у которых можно отбросить - или, наоборот, приписать - сколько-то знаков слева, и получится новая тройка. Но эту задачку вряд ли решит школьник, даже если сдаст десять тысяч ЕГЭ. Её и профессор не всякий решит...)
Нет, конечно же. 1. Никто не говорит, что равносторонние многоугольники обладают равным числом сторон. Например, равносторонний пятиугольник не обязательно равновелик равностороннему десятиугольнику 2. Никто не говорит, что, даже при равенстве числа сторон, они одинаковой формы. Равносторонний правильный четырёхугольник - квадрат - не обязательно равновелик ромбу. 3. Ну и про то, что у них длины сторон одинаковы - тоже не сказано.равносторонний квадрат с длиной стороны в 1 см НЕ равновелик равностороннему квадрату с длиной стороны 2 см.
В нем АВ = ВС биссектриса BD. Видишь: получилось два треугольника ABD и СВD
Давай посмотрим на них внимательно. И тогда увидим, что 1. АВ = ВС 2. BD - общая 3. ∠1 = ∠2
А это значит (скорее вспоминай первый признак равенства треугольников!), что ΔABD = ΔCBD Ну и что? Хочется тебе так сказать? А то, что мы ещё не смотрели на третьи стороны и оставшиеся углы этих треугольников. А вот теперь посмотрим. Раз ΔABD =ΔCBD то совершенно точно AD= CD и даже вдобавок ∠3 =∠4 Вот и получилось, что BD разделила сторону АС пополам, то есть оказалась медианой ∠3 =∠4 а значит, они оба по 90° , так как ∠3 +∠4 = 180° Вот и оказалась биссектриса BD и высотой тоже!
Ясно, что один из отрезков - тот, который имеет своим концом вершину прямого угла - равен радиусу вписанной окружности. Это сразу понятно, если провести радиусы в точки касания - у вершины прямого угла получится квадрат, образованный двумя радиусами и двумя отрезками катетов.
Поскольку два угла прямоугольнного треугольника ОСТРЫЕ, то есть из половинки меньше 45 градусов, то отношение радиуса вписанной окружности к отрезку стороны от вершины острого угла до точки касания МЕНЬШЕ, чем 1. Поэтому радиус вписанной окружности равен 7, а один из катетов равен 15. Точки касания делят гипотенузу на отрезки 8 и x, а второй катет - на отрезки 7 и х.
(8 + x)^2 = (7 + x)^2 + 15^2;
x = (15^2 + 7^2 - 8^2)/2 = 105;
поэтому стороны треугольника равны 15, 112, 113.
Само собой, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы 113/2.
(интересная Пифагорова тройка 15, 112, 113, - она получается, если взять Пифагорову тройку 5,12,13, и приписать 1 слева :) забавно было бы найти все такие тройки, у которых можно отбросить - или, наоборот, приписать - сколько-то знаков слева, и получится новая тройка. Но эту задачку вряд ли решит школьник, даже если сдаст десять тысяч ЕГЭ. Её и профессор не всякий решит...)