Пусть расстояние от вершины одного острого угла до точки касания равно х
Тогда один катет равен
х+2
Второй
17-х-2
Гипотенуза равна сумме отрезков от острых углов треугольника до точек касания с окружностью по свойству касательных из одной точки к окружности.
х+ 17-х-2-2=13cм
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
(17 -х)²+х²=13²
289-34х+х²+х²=169
2х²-34х +120=0
D = b² - 4ac = 196
х1=5 см
х2=12 см
Один катет равен 5, второй 12
Площадь равна половине произведения катетов и равна
5*12:2=30 см²
Проверка
5²+12²=169
169=169
√169=13
Пусть имеем треугольник ABC, CH- высота и CM - медиана
Угол МСН = 76 градусов по условию задачи
В прямоугольном треугольнике СMN cумма острых углов СМН, МСН равна 90 градусов, то есть угол СМН = 90 – угол МСН = 90 – 76 = 14 градусов
Треугольник АМС равнобедренный, СМ равна половине гипотенузы , а АМ равна половине гипотенузы, так как СМ - медиана. Отсюда следствие, что угол САM равен углу АСМ по свойству углов при основании равнобедренного треугольника.
Угол AMC = 180-14=166 градуса
Угол СAM +угол MCA=180-166=14
Угол СAM =угол MCA=14/2=7 градусов
Угол СBA=90-7=83 градуса
Больший угол равен 83 градуса.
Высота BH делит тр-к на 2 прям. тр-ка АНВ и BHC.
Рассм тр-к AHB:
tg α=ВН/АН, отсюда АН= ВН/tg α
Рассм тр-к BHC:
tg β=BH/CH, отсюда CH=BH/tg β
AC=AH+HC
AC= ВН/tg α+ BH/tg β = BH(1/ tg α+1/ tg β),
Подставляем значение BH=4см
AC=4(1/ tg α+1/ tg β)см