Через середину к медианы вм треугольника авс и вершину а проведена прямая пересекающая сторону вс в точке р. найдите отношение площади треугольника авк и к площади крсм.
Есть очень много я применяю тот, который используется при доказательстве теоремы Чевы. Через вершину В проводится прямая II АС. АР продолжается за точку Р до пересечения с этой прямой в точке Е.
Итак, ВЕ II AC;
Треугольники ЕВК и АКМ подобны (у них углы равны), поэтому ЕВ/АМ = ВК/КМ; в даном случае ВК/КМ = 1, и ЕВ = АМ; (то есть эти треугольники просто равны).
Отсюда ЕВ = АС/2; (ВМ - медиана)
Треугольники ЕВР и АСР тоже подобны по тому же признаку, поэтому ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2;
Итак, СР = ВС*2/3; и, соответственно, площадь треугольника АСР
Sacp = S*2/3; (S - площадь треугольника АВС).
Поскольку площадь треугольника ВАМ равна половине площади АВС, а площадь АКМ равна половине АВМ, то
Sakm = S/4;
Таким образом, площадь четырехугольника КРСМ равна
Skpcm = Sacp - Sakm = S*(2/3 - 1/4) = S*5/12;
ответ 12/5;
Я намеренно не объясняю, почему из того, что СР = ВС*2/3; следует, что Sacp = S*2/3;
и там я еще два раза использовал тот же прием при вычислении Sakm.
Конечно, если высоты треугольников равны, их площади относятся, как стороны, к которым эти высоты проведены. Я тут это раз 100 уже объяснял, и потом - если постоянно это все расписывать - каждое решение разбухнет до размеров учебника по геометрии.
Из правильного треугольника АВС: из теоремы Пифагора: высота ВК равна 3 корня из 2. Угол ОАК - это угол между плоскостью АОС и основанием. Поскольку угол ОАК = 30 градусов, то катет ОК равен гипотенузы ОА как катет, который лежит против угла 30 градусов. ОК = ОА/2. Пускай ОК = х, тогда ОА = 2х. Из прямоугольного треугольника ОАК: за теоремой Пифагора: OA^2 = OK^2 + AK^2, 4x^2 = 9 - x^2, 3x^2 = 9, x^2 = 3, x = корень из 3. OK = корень из 3. Объем призмы равен площади основания умножить на высоту: S = So*H = S(ABC)*OK = BK*AC/2*OK = 9 корней из 6.
Из трапеции АВСD имеем: углы ВОС и АОD равны как вертикальные, углы ОАD и ОСВ, а также углы ODA и ОВС равны как внутренние разносторонние. Следовательно, треугольники BOC и AOD подобны по трем углам. Из теоремы подобных треугольников: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициенту их подобия, то есть S(AOD)/S(BOC) = k^2. Имеем: k^2 = 27/3, k^2 = 9, k = 3. Стороны подобных треугольников пропорциональны: AO/OC = k, имеем: 6/OC = 3, OC = 6/3, OC = 2. АС = АО + ОС, АС = 6 + 2 = 8. ответ: 8.
Первое, что надо сделать - найти отношение ВР/СР;
Есть очень много я применяю тот, который используется при доказательстве теоремы Чевы. Через вершину В проводится прямая II АС. АР продолжается за точку Р до пересечения с этой прямой в точке Е.
Итак, ВЕ II AC;
Треугольники ЕВК и АКМ подобны (у них углы равны), поэтому ЕВ/АМ = ВК/КМ; в даном случае ВК/КМ = 1, и ЕВ = АМ; (то есть эти треугольники просто равны).
Отсюда ЕВ = АС/2; (ВМ - медиана)
Треугольники ЕВР и АСР тоже подобны по тому же признаку, поэтому ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2;
Итак, СР = ВС*2/3; и, соответственно, площадь треугольника АСР
Sacp = S*2/3; (S - площадь треугольника АВС).
Поскольку площадь треугольника ВАМ равна половине площади АВС, а площадь АКМ равна половине АВМ, то
Sakm = S/4;
Таким образом, площадь четырехугольника КРСМ равна
Skpcm = Sacp - Sakm = S*(2/3 - 1/4) = S*5/12;
ответ 12/5;
Я намеренно не объясняю, почему из того, что СР = ВС*2/3; следует, что Sacp = S*2/3;
и там я еще два раза использовал тот же прием при вычислении Sakm.
Конечно, если высоты треугольников равны, их площади относятся, как стороны, к которым эти высоты проведены. Я тут это раз 100 уже объяснял, и потом - если постоянно это все расписывать - каждое решение разбухнет до размеров учебника по геометрии.