Пусть есть треугольник с катетами AB и BC.
Если радиус описанной окружности равен 6,5, то гипотенуза равна 2*6,5 = 13.
Отрезки катетов до точки касания вписанной окружности равны 2 и -2.
По свойству касательных гипотенуза равна сумме этих отрезков:
AB - 2 + BC - 2 = 13 или AB + BC=17.
За теоремой Пифагора 13² = AB² + BC².
Возведём в квадрат равенство AB + BC = 17:
AB² + 2AB*BC + BC² = 289. Заменим AB² +BC² = 169.
2AB*BC = 289 - 169 = 120, AB*BC = 120/2 = 60.
Из выражения AB+ BC = 17 выразим BC = 17 - AB и подставим в AB*BC = 60.
Получим: AB(17 -AB) = 60 или 17*AB -AB² = 60.
Получили квадратное уравнение AB² - 17AB + 60 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно AB.
Ищем дискриминант:
D=(-17)^2-4*1*60=289-4*60=289-240=49;
AB1=(√49-(-17))/(2*1)=(7-(-17))/2=(7+17)/2=24/2=12;
AB2=(-√49-(-17))/(2*1)=(-7-(-17))/2=(-7+17)/2=10/2=5.
ответ: катеты равны 5 и 12.
Диагонали относятся как 5 : 12 - это означает, что d1=АС=5х, d2=ВD=12х ⇒ 480=1/2*5х*12х ⇒ 480=1/2*60х² ⇒
480=30х² ⇒ х²=16 ⇒ х=4 и х= -4 (игнорируем, т.к. сторона не может иметь отрицательное значение) ⇒ d1=АС=5*4=20, d2=ВD=12*4=48
Диагонали ромба пересекаются под углом=90° и точкой пересечения О делятся пополам ⇒ стороны прямоугольного ΔАОВ будут равны: АО=10 и ВО=24. По теореме Пифагора находим сторону ромба: АВ²=АО²+ВО²=10²+24²=100+576=676 ⇒АВ=26
Тогда Р ромба = 4*АВ = 4* 26 = 104.
ответ: 104 см