М - центр АВС. О - центр описанного шара. Обозначим АО = ОЕ = R, OM = x.
При этом АЕ = а - сторона тетраэдра, АМ = a/√3 - радиус окружности, описанной вокруг АВС (или - просто - расстояние от центра АВС до вершины, я так думаю, нет смысла тратить место и время на объяснения "как это вычислить". Высота грани a*√3/2, а AM = 2/3 от этой высоты).
ЕМ = √(АЕ^2 - AM^2) = a*√(2/3); - высота тетраэдра.
OM = ЕМ - ОЕ = ЕМ - R = a*√(2/3) - R;
ОM = √(АО^2 - AM^2) = √(R^2 - a^2/3);
Получаем
a*√(2/3) - R = √(R^2 - a^/3); возводим в квадрат, приводим подобные, получаем
a = R*2*√(2/3); по условию R = 3*√3; => a = 6*√2;
Сторона тетраэдра а, высота а*√(2/3), площадь грани a^2*√3/4, объем
V = (a^2*√3/4)*(а*√(2/3))/3 = a^3*√2/12; подставляем значение
1. Диагональ осевого сечения делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника с острыми углами в 45° H=4√2·sin45°=4 Диаметр основания D(основания)=Н=4 R=D/2=2 V=πR²H=π2²·4=16π В ответе 16π:π=16 2. V₁:V₂=πR²₁H₁:πR²₂H₂=3²·5:5²·3=3:5=0,6 3. Диагональ осевого сечения делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника с острыми углами в 30° и 60°. Катет, против угла в 30°( высота цилиндра) равен половине гипотенузы 4/2=2 Диаметр основания по теореме Пифагора D= √(4²-2²)=√12=2√3 Радиус основания R=D/2=√3 V=πR²H=π(√3)²·2=6π В ответе 6π:π=6 4) S(бок. цилиндра)=2π·R·H 2π·R·H=2π R·H=1 D=1 ⇒ 2R=1 ⇒ R=1/2 H=2 V=πR²H=π(1/4)·2=(1/2)π В ответе (1/2)π:π=1/2=0,5
cм. чертеж.
М - центр АВС. О - центр описанного шара. Обозначим АО = ОЕ = R, OM = x.
При этом АЕ = а - сторона тетраэдра, АМ = a/√3 - радиус окружности, описанной вокруг АВС (или - просто - расстояние от центра АВС до вершины, я так думаю, нет смысла тратить место и время на объяснения "как это вычислить". Высота грани a*√3/2, а AM = 2/3 от этой высоты).
ЕМ = √(АЕ^2 - AM^2) = a*√(2/3); - высота тетраэдра.
OM = ЕМ - ОЕ = ЕМ - R = a*√(2/3) - R;
ОM = √(АО^2 - AM^2) = √(R^2 - a^2/3);
Получаем
a*√(2/3) - R = √(R^2 - a^/3); возводим в квадрат, приводим подобные, получаем
a = R*2*√(2/3); по условию R = 3*√3; => a = 6*√2;
Сторона тетраэдра а, высота а*√(2/3), площадь грани a^2*√3/4, объем
V = (a^2*√3/4)*(а*√(2/3))/3 = a^3*√2/12; подставляем значение
V = (6*√2)^3*√2/12 = 72;