Question

Высота, проведенная к основанию ровнобедренного треугольника=9 см,а само основание-=24см. найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружности

Answer 1

r = 4 см

R = 12,5 см

Объяснение:

ВН - высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, значит ВН - медиана и биссектриса,

АН = НС = АС/2 = 24/2 = 12 см

ΔВНС:   ∠ВНС = 90°, по теореме Пифагора

             ВС = √(ВН² +  НС²) = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см

Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.  АО - биссектриса ∠А, О - центр вписанной окружности, тогда ОН - радиус вписанной окружности.

По свойству биссектрисы: Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Для ΔАВН:

$\dfrac{OH}{BO}=\dfrac{AH}{AB}$

$\dfrac{r}{9-r}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$

5r = 4(9 - r)

5r = 36 - 4r

9r = 36

r = 4 см

По следствию из теоремы синусов:

$\dfrac{AB}{sinC}=2R$

Из прямоугольного треугольника ВНС:

$sinC=\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$

$R=\dfrac{15}{2\cdot sinC}=\dfrac{15}{2\cdot \frac{3}{5}}=\dfrac{25}{2}=12,5$ см