Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что прямые AA1, BB1, CC2 , содержащие его высоты, пересекаются в одной точкеПроведем через каждую вершину треугольника ABC прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник A2B2C2. Точки ABC являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, ABA2C и ABCB2, как противоположные стороны параллелограммов ABA2C и ABCB2, поэтому A2CCB2. Аналогично C2AAB2 и C2BBA2. Кроме того, как следует из построения, CC1A2B2, AA1B2C2 и BB1A2C2. Таким образом прямые AA1BB1CC1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A2B2C2. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
Теорема . три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке. доказательство: пусть abc - данный треугольник . пусть прямые, содержащие высоты ap и bq треугольника abc пересекаются в точке o. проведем через точку a прямую, параллельную отрезку bc, через точку b прямую, параллельную отрезку ac, а через точку c - прямую, параллельную отрезку ab. все эти прямые попарно пересекаются. пусть точка пересечения прямых, параллельных сторонам ac и bc - точка m, точка пересечения прямых, параллельных сторонам ab и bc - точка l, а прямых, параллельным ab и ac - точка k. точки klm не лежат на одной прямой, (иначе бы прямая ml совпадала бы с прямой mk, а значит, прямая bc была бы параллельна прямой ac, или совпадала бы с ней, то есть точки a, b и c лежали бы на одной прямой, что противоречит определению треугольника) . итак, точки k, l, m составляют треугольник. ma параллельно bc, и mb параллельно ac по построению. а значит, четырёхугольник macb - параллелограмм. следовательно, ma = bc, mb = ac. аналогично al = bc = ma, bk = ac = mb, kc = ab = cl. значит, ap и bq - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника klm. они пересекаются в точке o, а значит, co - тоже срединный перпендикуляр. co перпендикулярно kl, kl параллельно ab, а значит co перпендикулярно ab. пусть r - точка пересечения ab и cq. тогда cr перпендикулярно ab, то есть cr - это высота треугольника abc. точка o принадлежит всем прямым, содержащим высоты треугольника abc. значит, прямые, содержащие высоты этого треугольника пересекаются в одной точке. что и требовалось доказать.
Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что прямые AA1, BB1, CC2 , содержащие его высоты, пересекаются в одной точкеПроведем через каждую вершину треугольника ABC прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник A2B2C2. Точки ABC являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, ABA2C и ABCB2, как противоположные стороны параллелограммов ABA2C и ABCB2, поэтому A2CCB2. Аналогично C2AAB2 и C2BBA2. Кроме того, как следует из построения, CC1A2B2, AA1B2C2 и BB1A2C2. Таким образом прямые AA1BB1CC1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A2B2C2. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.