Один из углов равнобедренного треугольника равен 108 градусов. Найти соотношение длин двух биссектрис неравных углов.
Сделаем рисунок.
Пусть данный треугольник АВС, АВ=ВС
Углы при основании АС равны (180º -108º):2=36º, значит, нужно найти соотношение длин биссектрис ∠В и∠С, т.к. они не равны.
Биссектрисы ВН и СК делят углы пополам.
∠ КВО=108º:2=54º
∠ ВСК=36:2=18º
В ∆ ВКС ∠ ВКС=180º-108º-18º=54º
∠ КВО=108º:2=54º
∠ ВКС=∠ КВО ⇒
∆ КОВ - равнобедренный.
Проведем НМ параллельно АВ.
∠ ВНТ=∠КВН=54º как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей
углы КТН = ВКТ=54º на том же основании ⇒
∆ НОТ - равнобедренный.
ВН=ВО+ОН, КТ=КО+ОТ и оба состоят из суммы равных отрезков. ⇒
ВН=КТ.
НМ || АВ по построению, а АН=НС по условию.⇒
НМ - средняя линия и делит СК пополам.
ТС=ТК=ВН
СК= 2 ВН
СК:ВН=2:1.
Если задача записана правильно и точка Т находится ВНЕ треугольника, то площадь треугольника ВСТ равна площади треугольника ВМС, так как высоты у них равны, и основания ВТ=ВМ .
Площади треугольников АВМ и МВС относятся как 1:2, так как у них равные высоты, а основания относятся как 1:2.
Площадь тр-ка АВМ=⅓ S
Площадь треугольника МВС=⅔ S
Площадь треугольника ВСТ равна ⅔ S
Если Т находится внутри треугольника, то площадь треугольника ВСТ равна половине площади треугольника ВМС, так как основания ВТ=ТМ и равны половине ВМ, а высота у них одна. Тогда площадь ВСТ равна
⅔ S:2=²/⁶ S=⅓ S